Questão de Matemática · FGV TCE-SP 2023 (nº 17)

Para a peça cair em uma casa $j$, ela precisa ter chegado lá de uma casa anterior. A probabilidade condicional nos diz que a chance de chegar em $j$ depende de onde a peça estava antes e qual movimento ela fez.

• A peça avança 1 casa se o dado é par. A probabilidade de um dado ser par (2, 4, 6) é $3/6 = 1/2$.
• A peça avança 2 casas se o dado é ímpar. A probabilidade de um dado ser ímpar (1, 3, 5) é $3/6 = 1/2$.

Para a peça cair na casa $j$, ela deve ter vindo da casa $j-1$ (avançando 1 casa) OU ter vindo da casa $j-2$ (avançando 2 casas).
Assim, a probabilidade de cair na casa $j$, $C(j)$, é a soma das probabilidades de cada um desses eventos mutuamente exclusivos:
$C(j) = P(\text{cair em j | estava em j-1}) \times C(j-1) + P(\text{cair em j | estava em j-2}) \times C(j-2)$.
Como $P(\text{avançar 1}) = 1/2$ e $P(\text{avançar 2}) = 1/2$, temos:
$C(j) = (1/2) \times C(j-1) + (1/2) \times C(j-2)$
$C(j) = \dfrac{C(j-1) + C(j-2)}{2}$

Aplicando essa fórmula para $j=9$:
$C(9) = \dfrac{C(9-1) + C(9-2)}{2} = \dfrac{C(8) + C(7)}{2}$.

• (A) Correta: Esta alternativa corresponde exatamente à relação de recorrência derivada da regra de probabilidade do movimento da peça. A probabilidade de chegar à casa 9 é a média das probabilidades de ter chegado às casas 7 e 8, pois ambos os movimentos (de 7 para 9 e de 8 para 9) têm a mesma probabilidade de ocorrer (1/2).
• (B) Incorreta: Esta alternativa sugere que a probabilidade de avançar 2 casas (de C(7) para C(9)) seria 1, e de avançar 1 casa (de C(8) para C(9)) seria 1/2, o que contradiz as probabilidades dadas no problema (ambas são 1/2). Esta é a armadilha mais tentadora, pois inverte os coeficientes corretos, atribuindo peso 1 a uma das probabilidades anteriores.
• (C) Incorreta: Similar à alternativa B, esta sugere que a probabilidade de avançar 1 casa (de C(8) para C(9)) seria 1, e de avançar 2 casas (de C(7) para C(9)) seria 1/2, o que também está incorreto.
• (D) Incorreta: Esta alternativa atribui pesos diferentes (2/3 e 1/3) às probabilidades das casas anteriores, o que não corresponde às probabilidades de 1/2 para cada tipo de movimento.
• (E) Incorreta: Similar à alternativa D, esta também atribui pesos diferentes (2/3 e 1/3, mas invertidos) às probabilidades das casas anteriores, o que está incorreto.