Questão de Matemática · FGV TCE-SP 2023 (nº 16)

Conceito-chave: Para calcular a área de um triângulo, usamos a fórmula (base × altura) / 2. Em um paralelepípedo reto (uma caixa retangular), todas as arestas são perpendiculares às faces que as contêm, formando ângulos de 90 graus. O Teorema das Três Perpendiculares é fundamental para identificar ângulos retos em figuras tridimensionais.

(A) Incorreta: O valor 10 não é obtido por nenhum cálculo direto ou comum de área de triângulo com as dimensões fornecidas.
(B) Incorreta: O valor 15 não corresponde à área do triângulo ABG. Seria a soma das arestas AB + CG + BC = 8 + 4 + 3 = 15, mas isso não é uma área.
(C) Incorreta: O valor 18 não é a área correta. Uma possível armadilha seria tentar uma combinação errada das dimensões, como $(AB + CG) \times BC / 2 = (8+4) \times 3 / 2 = 12 \times 3 / 2 = 18$.
(D) Correta: Para encontrar a área do triângulo ABG, precisamos identificar sua base e sua altura.

1. Podemos escolher a aresta AB como a base do triângulo, que mede 8.
2. Precisamos da altura relativa a essa base. Em um paralelepípedo reto, a aresta vertical CG é perpendicular à base ABCD.
3. Considere o triângulo BCG. Ele é um triângulo retângulo em C, pois BC e CG são arestas perpendiculares do paralelepípedo.
   • BC = 3
   • CG = 4
   • Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa BG (que será a altura do triângulo ABG) é: $BG = \sqrt{BC^2 + CG^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
4. Agora, aplicamos o Teorema das Três Perpendiculares: Se uma reta (CG) é perpendicular a um plano (base ABCD), e uma reta no plano (BC) é perpendicular a outra reta no plano (AB), então a reta que liga o ponto externo (G) ao ponto de intersecção (B) também é perpendicular à segunda reta no plano (AB).
   • CG $\perp$ plano ABCD (por ser um paralelepípedo reto).
   • BC $\perp$ AB (pois ABCD é um retângulo na base).
   • Portanto, BG $\perp$ AB.
5. Isso significa que o triângulo ABG é um triângulo retângulo em B.
6. Sua área é (base $\times$ altura) / 2 = (AB $\times$ BG) / 2 = (8 \times\ 5) / 2 = 40 / 2 = 20.
   (E) Incorreta: O valor 24 é a área da face da base ABCD (AB $\times$ BC = 8 \times\ 3 = 24). Armadilha da banca: O estudante pode confundir a área do triângulo com a área da face retangular da base, ou esquecer de dividir por 2 na fórmula da área do triângulo, ou ainda confundir com a área da face ABFE (8x4=32).