Questão de Matemática Financeira · FGV TCE-PI 2021 (nº 25)

Taxas equivalentes em juros compostos são taxas que, aplicadas a um mesmo capital inicial por um mesmo período total, geram o mesmo montante final, mesmo que tenham diferentes períodos de capitalização (por exemplo, mensal, bimestral, trimestral). Para encontrar uma taxa equivalente, usamos a fórmula $(1 + i_1)^{t_1} = (1 + i_2)^{t_2}$, onde $i$ é a taxa e $t$ é a duração do período correspondente.

• Taxa dada: $i_{bimestral} = 125\% = 1.25$ ao bimestre.
• Período desejado: Trimestre.
• Relação entre os períodos: Um trimestre tem 3 meses, e um bimestre tem 2 meses. Portanto, 1 trimestre = 1.5 bimestres.
• Cálculo:
  $(1 + i_{trimestral}) = (1 + i_{bimestral})^{(\text{duração do trimestre} / \text{duração do bimestre})}$
  $(1 + i_{trimestral}) = (1 + 1.25)^{(3/2)}$
  $(1 + i_{trimestral}) = (2.25)^{1.5}$
  $(1 + i_{trimestral}) = (\sqrt{2.25})^3$
  $(1 + i_{trimestral}) = (1.5)^3$
  $(1 + i_{trimestral}) = 3.375$
  $i_{trimestral} = 3.375 - 1$
  $i_{trimestral} = 2.375$
  Convertendo para porcentagem: $2.375 \times 100\% = 237.5\%$.

(A) Incorreta: Esta alternativa representa um valor muito baixo e não corresponde a nenhum cálculo lógico de equivalência de taxas compostas a partir da taxa dada.
(B) Incorreta: Esta é uma armadilha comum. Se o aluno primeiro calcula a taxa mensal equivalente (corretamente: $\sqrt{1+1.25}-1 = \sqrt{2.25}-1 = 1.5-1 = 0.5 = 50\%$ ao mês) e depois, em vez de capitalizar essa taxa por três meses, a multiplica por 3 (como se fosse juros simples), ele obteria $50\% \times 3 = 150\%$.
(C) Correta: Conforme o cálculo detalhado acima, a taxa efetiva trimestral equivalente é de 237,5%.
(D) Incorreta: Não há um caminho lógico direto que leve a este valor a partir da taxa bimestral fornecida.
(E) Incorreta: Esta é outra armadilha comum. O valor de 337,5% corresponde a $(1 + i_{trimestral})$, ou seja, ao fator de acumulação $F = 1 + i$. O erro aqui seria esquecer de subtrair 1 para obter a taxa $i$ em si.