Questão de Raciocínio Lógico · FGV TCE-PA 2024 (nº 74)

O conceito-chave aqui é a equivalência de taxas de juros no regime de juros compostos. Duas taxas são equivalentes se, aplicadas ao mesmo capital pelo mesmo período, geram o mesmo montante. A taxa nominal é uma taxa anual que precisa ser ajustada para o período de capitalização. A taxa efetiva é a taxa real que incide sobre o capital em um determinado período, já considerando a capitalização. Para converter uma taxa nominal para a taxa efetiva do período de capitalização, divide-se a taxa nominal pelo número de períodos de capitalização dentro do período da taxa nominal. Para converter entre taxas efetivas de diferentes períodos, usa-se a fórmula $(1 + i_{menor\_periodo})^n = (1 + i_{maior\_periodo})$, onde $n$ é o número de períodos menores contidos no período maior.

Cálculo de i (taxa efetiva mensal):

1. A taxa nominal é de 132% ao semestre, capitalizada bimestralmente.
2. Um semestre tem 3 bimestres (6 meses / 2 meses por bimestre).
3. A taxa bimestral proporcional (e, portanto, a taxa efetiva bimestral) é $132\% / 3 = 44\% = 0,44$.
4. Para encontrar a taxa efetiva mensal ($i$), usamos a relação: $(1 + i)^2 = (1 + 0,44)$.
5. $(1 + i)^2 = 1,44 \implies 1 + i = \sqrt{1,44} \implies 1 + i = 1,2$.
6. Portanto, $i = 1,2 - 1 = 0,2 = 20\%$ ao mês.

Cálculo de j (taxa nominal ao ano, capitalizada trimestralmente):

1. Sabemos que a taxa efetiva mensal ($i$) é de 20% (0,2).
2. Primeiro, encontramos a taxa efetiva trimestral correspondente. Um trimestre tem 3 meses.
3. Taxa efetiva trimestral = $(1 + i)^3 - 1 = (1 + 0,2)^3 - 1 = (1,2)^3 - 1 = 1,728 - 1 = 0,728 = 72,8\%$ ao trimestre.
4. A taxa $j$ é nominal ao ano, capitalizada trimestralmente. Isso significa que a taxa efetiva trimestral é igual à taxa nominal anual dividida pelo número de trimestres no ano (4).
5. Então, $j / 4 = 0,728$.
6. Portanto, $j = 0,728 \times 4 = 2,912 = 291,2\%$ ao ano.

(A) Incorreta: Esta alternativa resultaria de um erro de cálculo, como arredondamento prematuro da taxa mensal ou um erro na taxa bimestral inicial (ex: se a taxa bimestral fosse 43% ao invés de 44%).
(B) Incorreta: Esta alternativa não corresponde aos cálculos corretos das taxas equivalentes.
(C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde aos cálculos corretos das taxas equivalentes.
(D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde aos cálculos corretos das taxas equivalentes.
(E) Correta: O valor de $j$ é 291,2%. Primeiro, calculamos a taxa efetiva mensal ($i$) a partir da taxa nominal semestral capitalizada bimestralmente, que resulta em $i = 20\%$ ao mês. Em seguida, usamos essa taxa $i$ para encontrar a taxa efetiva trimestral e, a partir dela, a taxa nominal anual capitalizada trimestralmente ($j$), que é $291,2\%$.