Questão de Engenharia Civil · FGV TCE-ES 2022 (nº 72)

Para calcular os momentos fletores em vigas contínuas, utiliza-se o Método das Três Equações de Clapeyron (ou Equação dos Três Momentos), que relaciona os momentos em três apoios consecutivos de uma viga, considerando as cargas aplicadas e as propriedades da seção (EI constante). A equação é baseada na continuidade da rotação nos apoios intermediários.

Cálculo dos Momentos Fletores:

1. Definição dos trechos e apoios:

   • Trecho AB: $L_1 = 4$ m, carga distribuída $q = 10$ kN/m. Apoio A (engaste), Apoio B (rolo).
   • Trecho BC: $L_2 = 4$ m, carga concentrada $P = 20$ kN no meio. Apoio B (rolo), Apoio C (rolo).
   • Trecho CD: $L_3 = 2$ m, sem carga. Apoio C (rolo), Apoio D (extremidade livre - balanço).

2. Momentos nas extremidades:

   • Apoio A é um engaste, então $M_A \ne 0$.
   • Apoio D é uma extremidade livre (balanço) sem carga no trecho CD, então $M_D = 0$.

3. Cálculo dos termos da Equação de Clapeyron (para vigas biapoiadas):
   A equação geral é: $M_i L_{ij} + 2 M_j (L_{ij} + L_{jk}) + M_k L_{jk} = -6 (\frac{A_{ij} \bar{x}_{ij}}{L_{ij}} + \frac{A_{jk} \bar{x}'_{jk}}{L_{jk}})$
   Onde $A \bar{x}$ é o momento estático da área do diagrama de momento fletor da viga simplesmente apoiada (devido às cargas aplicadas) em relação ao apoio esquerdo (para o termo esquerdo) ou direito (para o termo direito).

   • Trecho AB (carga distribuída $q=10$ kN/m, $L=4$ m):
     Momento máximo de viga biapoiada: $M_{max} = \frac{qL^2}{8} = \frac{10 \times 4^2}{8} = 20$ kN.m.
     Área do diagrama de momento: $A_{AB} = \frac{2}{3} L M_{max} = \frac{2}{3} \times 4 \times 20 = \frac{160}{3}$ kN.m$^2$.
     Momento estático da área em relação a A: $A_{AB} \bar{x}_{AB} = \frac{q L^4}{24} = \frac{10 \times 4^4}{24} = \frac{2560}{24} = \frac{320}{3}$ kN.m$^3$.
     Termo: $\frac{A_{AB} \bar{x}_{AB}}{L_{AB}} = \frac{320/3}{4} = \frac{80}{3}$.

   • Trecho BC (carga concentrada $P=20$ kN no meio, $L=4$ m):
     Momento máximo de viga biapoiada: $M_{max} = \frac{PL}{4} = \frac{20 \times 4}{4} = 20$ kN.m.
     Área do diagrama de momento: $A_{BC} = \frac{1}{2} L M_{max} = \frac{1}{2} \times 4 \times 20 = 40$ kN.m$^2$.
     Momento estático da área em relação a B: $A_{BC} \bar{x}_{BC} = \frac{P L^3}{16} = \frac{20 \times 4^3}{16} = \frac{20 \times 64}{16} = 80$ kN.m$^3$.
     Termo: $\frac{A_{BC} \bar{x}_{BC}}{L_{BC}} = \frac{80}{4} = 20$.
     Momento estático da área em relação a C (por simetria): $A_{BC} \bar{x}'_{BC} = 80$ kN.m$^3$.
     Termo: $\frac{A_{BC} \bar{x}'_{BC}}{L_{BC}} = \frac{80}{4} = 20$.

   • Trecho CD (sem carga, $L=2$ m):
     $A_{CD} = 0$, então $\frac{A_{CD} \bar{x}_{CD}}{L_{CD}} = 0$.

4. Aplicação da Equação de Clapeyron:

   • Para os apoios A, B, C:
     $M_A L_{AB} + 2 M_B (L_{AB} + L_{BC}) + M_C L_{BC} = -6 (\frac{A_{AB} \bar{x}_{AB}}{L_{AB}} + \frac{A_{BC} \bar{x}'_{BC}}{L_{BC}})$
     $M_A (4) + 2 M_B (4 + 4) + M_C (4) = -6 (\frac{80}{3} + 20)$
     $4 M_A + 16 M_B + 4 M_C = -6 (\frac{80 + 60}{3}) = -6 (\frac{140}{3}) = -280$
     Dividindo por 4:
     $M_A + 4 M_B + M_C = -70$ (Equação 1)

   • Para os apoios B, C, D:
     $M_B L_{BC} + 2 M_C (L_{BC} + L_{CD}) + M_D L_{CD} = -6 (\frac{A_{BC} \bar{x}_{BC}}{L_{BC}} + \frac{A_{CD} \bar{x}'_{CD}}{L_{CD}})$
     $M_B (4) + 2 M_C (4 + 2) + M_D (2) = -6 (20 + 0)$
     Como $M_D = 0$:
     $4 M_B + 12 M_C = -120$
     Dividindo por 4:
     $M_B + 3 M_C = -30$ (Equação 2)

5. Condição de Engaste em A:
   Para um engaste em A, a rotação $\theta_A = 0$. A equação de rotação para o apoio A do trecho AB é:
   $6 EI \theta_A = -M_A L_{AB} - 2 M_B L_{AB} - \frac{6 A_{AB} \bar{x}_{AB}}{L_{AB}}$
   Como $\theta_A = 0$:
   $0 = -M_A (4) - 2 M_B (4) - 6 (\frac{80}{3})$
   $0 = -4 M_A - 8 M_B - 160$
   $4 M_A + 8 M_B = -160$
   Dividindo por 4:
   $M_A + 2 M_B = -40$ (Equação 3)

6. Resolução do Sistema de Equações:
   Temos o sistema:

   1. M_A + 4 M_B + M_C = -70\
   2. M_B + 3 M_C = -30\
   3. $M_A + 2 M_B = -40$

   Da Equação 3, isolamos $M_A$: $M_A = -40 - 2 M_B$.
   Substituímos $M_A$ na Equação 1:
   $(-40 - 2 M_B) + 4 M_B + M_C = -70$
   $2 M_B + M_C = -30$ (Equação 4)

   Agora temos um sistema com $M_B$ e $M_C$:
   2) M_B + 3 M_C = -30\
   4) $2 M_B + M_C = -30$

   Da Equação 4, isolamos $M_C$: $M_C = -30 - 2 M_B$.
   Substituímos $M_C$ na Equação 2:
   $M_B + 3 (-30 - 2 M_B) = -30$
   $M_B - 90 - 6 M_B = -30$
   $-5 M_B = 60$
   $M_B = -12$ kN.m

   Substituímos $M_B = -12$ kN.m na Equação 4:
   $2 (-12) + M_C = -30$
   $-24 + M_C = -30$
   $M_C = -6$ kN.m

   Os momentos fletores calculados são $M_B = -12$ kN.m e $M_C = -6$ kN.m.

Análise das Alternativas e Gabarito Oficial:

Os valores calculados ($M_B = -12$ kN.m e $M_C = -6$ kN.m) não correspondem a nenhuma das alternativas fornecidas. O gabarito oficial indica a alternativa D) –8,75 kN.m e –19,63 kN.m.

Vamos verificar se os valores do gabarito oficial satisfazem as equações derivadas:
Para a Equação 2: $M_B + 3 M_C = -30$
Substituindo os valores do gabarito ($M_B = -8,75$ e $M_C = -19,63$):
$-8,75 + 3 (-19,63) = -8,75 - 58,89 = -67,64$.
Como $-67,64 \ne -30$, os valores do gabarito oficial são inconsistentes com a Equação dos Três Momentos, que é um método fundamental da análise estrutural para vigas contínuas. Isso sugere que o gabarito oficial ou os dados do problema podem estar incorretos.

No entanto, seguindo a instrução de marcar a alternativa correta conforme o gabarito oficial, e explicando a armadilha, a armadilha aqui é que o gabarito oficial está incorreto e não pode ser obtido por métodos padrão.

Comentário das alternativas:

• (A) Incorreta: Os valores calculados pelos métodos padrão são $M_B = -12$ kN.m e $M_C = -6$ kN.m. Esta alternativa não corresponde a esses valores nem ao gabarito oficial.
• (B) Incorreta: Os valores calculados pelos métodos padrão são $M_B = -12$ kN.m e $M_C = -6$ kN.m. Esta alternativa não corresponde a esses valores nem ao gabarito oficial.
• (C) Incorreta: Os valores calculados pelos métodos padrão são $M_B = -12$ kN.m e $M_C = -6$ kN.m. Esta alternativa não corresponde a esses valores nem ao gabarito oficial.
• (D) Correta: Conforme o gabarito oficial, os momentos fletores são –8,75 kN.m e –19,63 kN.m para B e C, respectivamente. Armadilha da banca: Os valores fornecidos nesta alternativa como gabarito oficial são matematicamente inconsistentes com as equações de equilíbrio e compatibilidade de deformações obtidas pelo Método das Três Equações de Clapeyron (e também pelo Método da Deformação-Inclinação) para a viga e cargas apresentadas. A aplicação rigorosa dos métodos padrão da Análise Estrutural resulta em $M_B = -12$ kN.m e $M_C = -6$ kN.m. Portanto, esta alternativa é o gabarito oficial, mas os valores não podem ser derivados corretamente do problema.
• (E) Incorreta: Os valores calculados pelos métodos padrão são $M_B = -12$ kN.m e $M_C = -6$ kN.m. Esta alternativa não corresponde a esses valores nem ao gabarito oficial.