Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-MG 2022 - Manhã (nº 16)

Em problemas de Contagem, precisamos descobrir o número de maneiras diferentes de organizar ou escolher elementos. Quando alguns elementos devem ficar vizinhas (adjacentes), a estratégia é tratá-los como um único "bloco" para simplificar a contagem.

• (A) Incorreta: Esta alternativa (30) seria obtida se, após posicionar A e B (5 pares), os carros C e D fossem considerados indistinguíveis e apenas a escolha de 2 vagas das 4 restantes importasse ($C(4,2) = 6$), resultando em $5 \times 6 = 30$. A armadilha aqui é tratar C e D como carros idênticos, o que não são.
• (B) Incorreta: Esta alternativa (60) seria obtida se A e B fossem considerados um bloco fixo (por exemplo, A sempre antes de B, eliminando a permutação interna de 2!), resultando em $5 \times P(4,2) = 5 \times 12 = 60$. A armadilha é esquecer que A e B podem trocar de lugar dentro do bloco vizinho (AB ou BA).
• (C) Incorreta: Esta alternativa (80) não se encaixa em um erro comum de cálculo para este tipo de problema.
• (D) Correta: Para resolver este problema, seguimos os seguintes passos:
  1. Posicionar os carros A e B (vizinhas):
     • Há 5 pares de vagas vizinhas nas 6 vagas disponíveis: (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6).
     • Para cada par de vagas, os carros A e B podem ser dispostos de 2 maneiras (AB ou BA).
     • Portanto, o número de maneiras de posicionar A e B é $5 \times 2 = 10$.
  2. Posicionar os carros C e D nas vagas restantes:
     • Depois que A e B ocupam 2 vagas vizinhas, sobram $6 - 2 = 4$ vagas vazias.
     • Precisamos colocar os 2 carros restantes (C e D) nessas 4 vagas. Como os carros são distintos e a ordem importa (C na vaga X e D na vaga Y é diferente de D na vaga X e C na vaga Y), usamos a fórmula de Permutação de 4 itens tomados 2 a 2: $P(4,2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$.
  3. Calcular o total de maneiras:
     • Multiplicamos as possibilidades de cada etapa: $10 \text{ (para A e B)} \times 12 \text{ (para C e D)} = 120$.
• (E) Incorreta: Esta alternativa (240) é o dobro do resultado correto, o que poderia acontecer se alguma permutação interna fosse contada duas vezes.