Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-MG 2022 - Manhã (nº 14)

Duas proposições são logicamente equivalentes se elas sempre possuem o mesmo valor-verdade (ambas verdadeiras ou ambas falsas) em todas as situações. Para uma proposição condicional "Se P então Q" ($P \rightarrow Q$), a única forma logicamente equivalente que mantém a estrutura condicional é a contrapositiva ($\neg Q \rightarrow \neg P$).

A proposição dada é: "Se o cliente pagou então não é devedor."
Vamos definir as proposições simples:
P: "o cliente pagou"
Q: "o cliente é devedor"
A proposição dada é, portanto, $P \rightarrow \neg Q$.

Análise das afirmativas:

I. Se o cliente não pagou então é devedor.
Representação: $\neg P \rightarrow Q$.
Esta é a inversa da proposição original ($P \rightarrow \neg Q$). A inversa não é logicamente equivalente à proposição original. Para ser equivalente, a forma disjuntiva de $P \rightarrow \neg Q$ é $\neg P \lor \neg Q$. A forma disjuntiva de $\neg P \rightarrow Q$ é $P \lor Q$, que não é equivalente.

II. Se o cliente não é devedor então pagou.
Representação: $\neg Q \rightarrow P$.
Esta é a conversa da proposição original ($P \rightarrow \neg Q$). A conversa não é logicamente equivalente à proposição original. Para ser equivalente, a forma disjuntiva de $P \rightarrow \neg Q$ é $\neg P \lor \neg Q$. A forma disjuntiva de $\neg Q \rightarrow P$ é $Q \lor P$, que não é equivalente.
Armadilha da banca: Esta é a alternativa mais tentadora para quem confunde a conversa com a contrapositiva. Lembre-se que a conversa de $A \rightarrow B$ é $B \rightarrow A$, e elas não são equivalentes. Apenas a contrapositiva é equivalente.

III. Se o cliente é devedor então não pagou.
Representação: $Q \rightarrow \neg P$.
Esta é a contrapositiva da proposição original ($P \rightarrow \neg Q$). A contrapositiva de $A \rightarrow B$ é $\neg B \rightarrow \neg A$. Aplicando à original $P \rightarrow \neg Q$: o "A" é $P$ e o "B" é $\neg Q$. A contrapositiva é $\neg (\neg Q) \rightarrow \neg P$, que simplifica para $Q \rightarrow \neg P$. A contrapositiva é sempre logicamente equivalente à proposição original.

(A) Incorreta: A afirmativa I ($\neg P \rightarrow Q$) não é equivalente à original, pois é a inversa.
(B) Incorreta: A afirmativa I ($\neg P \rightarrow Q$) não é equivalente à original, e a afirmativa II ($\neg Q \rightarrow P$) também não é equivalente à original.
(C) Correta: A afirmativa I ($\neg P \rightarrow Q$) não é equivalente à original, a afirmativa II ($\neg Q \rightarrow P$) não é equivalente à original, e a afirmativa III ($Q \rightarrow \neg P$) é equivalente à original por ser sua contrapositiva.
(D) Incorreta: A afirmativa I ($\neg P \rightarrow Q$) não é equivalente à original.
(E) Incorreta: As afirmativas I e II não são equivalentes à original.