Questão de Matemática Financeira · FGV SEFAZ-ES 2021 - Tarde (nº 15)

O Sistema de Amortização Constante (SAC) é um método de pagamento de empréstimos onde a parte do principal (a amortização) que você paga em cada mês é sempre a mesma, fazendo com que o valor total da parcela (amortização + juros) diminua ao longo do tempo. Já o Sistema Francês (Tabela Price) é um método onde o valor da parcela (amortização + juros) é sempre o mesmo do início ao fim do contrato.

Vamos resolver o problema passo a passo:

1. Cálculo do empréstimo inicial (SAC):

   • Dívida inicial (PV): R$ 100.000,00
   • Juros mensais: 24% a.a. / 12 meses = 2% ao mês (0,02)
   • Prazo: 40 meses
   • No SAC, a amortização (A) é constante: A = \frac{PV}{n} = \frac{100.000}{40} = R\ 2.500,00$.

2. Saldo devedor após a 12ª parcela (SAC):

   • Após 12 parcelas, o valor total amortizado é 12 \times R\ 2.500,00 = R$ 30.000,00$.
   • O saldo devedor restante, que será o novo principal, é R\ 100.000,00 - R$ 30.000,00 = R$ 70.000,00$.

3. Cálculo do novo financiamento (Sistema Francês):

   • Novo principal (PV'): R$ 70.000,00
   • Juros mensais: 2,5% ao mês (0,025)
   • Prazo restante: 40 meses (total) - 12 meses (pagos) = 28 meses
   • No Sistema Francês, a parcela (PMT) é constante e calculada pela fórmula: $PV' = PMT \times \left[ \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \right]$
   • Substituindo os valores: $70.000 = PMT \times \left[ \frac{1 - (1+0,025)^{-28}}{0,025} \right]$
   • A questão fornece a aproximação $(1,025^{28}=2)$, então $(1,025)^{-28} = \frac{1}{2} = 0,5$.
   • $70.000 = PMT \times \left[ \frac{1 - 0,5}{0,025} \right]$
   • $70.000 = PMT \times \left[ \frac{0,5}{0,025} \right]$
   • $70.000 = PMT \times 20$
   • PMT = \frac{70.000}{20} = R\ 3.500,00$

4. Resposta à pergunta:

   • No Sistema Francês, todas as parcelas são iguais. Portanto, a penúltima parcela a ser paga será igual ao valor da parcela constante calculada.

• (A) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo da parcela constante no Sistema Francês.
• (B) Correta: O valor da parcela constante no Sistema Francês é de R$ 3.500,00. Como todas as parcelas são iguais neste sistema, a penúltima parcela também será de R$ 3.500,00.
• (C) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo da parcela constante no Sistema Francês.
• (D) Incorreta: R$ 2.500,00 é o valor da amortização constante do sistema SAC original, não a parcela do novo financiamento pelo Sistema Francês. A armadilha aqui é confundir a amortização do SAC com a parcela do Price, ou esquecer que no Price as parcelas são constantes e não a amortização.
• (E) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo da parcela constante no Sistema Francês.