Questão de Matemática Financeira · FGV SEFAZ-ES 2021 - Tarde (nº 13)

Juros compostos são calculados sobre o capital inicial e os juros já acumulados, enquanto o desconto simples bancário (ou por fora) é um desconto calculado sobre o valor futuro de um título e deduzido antecipadamente. Para resolver, calculamos o custo efetivo do empréstimo a juros compostos e encontramos a taxa de desconto simples por fora que gera o mesmo custo.

(A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo da taxa de desconto equivalente. Uma taxa de 37,5% ao bimestre resultaria em um custo efetivo diferente do empréstimo a juros compostos.
(B) Correta: Primeiro, a taxa de juros compostos de 600% ao semestre capitalizados mensalmente significa uma taxa mensal de $i_m = \frac{600\%}{6} = 100\%$ ao mês. Para dois meses, o fator de acumulação é $(1 + 1)^2 = 4$. Isso significa que o valor final (montante) é 4 vezes o valor inicial (capital), resultando em um juro efetivo de $300\%$ para o período de 2 meses. Em uma operação de desconto simples bancário (por fora), o valor presente ($VP$) é $VP = VN(1 - d \cdot n)$, onde $VN$ é o valor nominal, $d$ é a taxa de desconto e $n$ é o período. A taxa de juro efetiva ($i_{efetivo}$) para o período é $i_{efetivo} = \frac{VN - VP}{VP}$. Queremos que $i_{efetivo} = 300\% = 3$. Substituindo $VP$: $3 = \frac{VN - VN(1 - d \cdot n)}{VN(1 - d \cdot n)} = \frac{d \cdot n}{1 - d \cdot n}$. Resolvendo para $d \cdot n$: $3(1 - d \cdot n) = d \cdot n \implies 3 - 3d \cdot n = d \cdot n \implies 3 = 4d \cdot n \implies d \cdot n = \frac{3}{4}$. Como o período é de 2 meses (1 bimestre), $n=1$, então a taxa de desconto $d$ ao bimestre é $d = \frac{3}{4} = 0.75 = 75\%$.
(C) Incorreta: Uma taxa de desconto de 100% ao bimestre em uma operação de desconto simples por fora implicaria que o valor presente seria $VP = VN(1 - 1 \cdot 1) = 0$, o que é inviável para um empréstimo.
(D) Incorreta: Uma taxa de desconto de 150% ao bimestre em uma operação de desconto simples por fora implicaria que o valor presente seria $VP = VN(1 - 1.5 \cdot 1) = -0.5VN$, o que não faz sentido financeiro (valor presente negativo).
(E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo correto. Se fosse uma operação de desconto simples por dentro (racional) e o juro efetivo fosse 200%, a taxa de desconto seria 200%. No entanto, a questão especifica "desconto simples bancário, ou seja, por fora", e o juro efetivo calculado é de 300%. Armadilha da banca: Pode induzir ao erro de confundir "desconto por fora" com "desconto por dentro" ou a um cálculo incorreto do juro efetivo.