Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV SEE-MG 2023 (nº 11)

A probabilidade binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas (como jogos), onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso, como vitória ou derrota), e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.

Conceito-chave: Para calcular a probabilidade de um evento acontecer exatamente um certo número de vezes em várias tentativas, precisamos considerar tanto a probabilidade de uma sequência específica de sucessos e fracassos quanto o número de maneiras diferentes que essa sequência pode ocorrer.

Cálculo:

1. Identificar os parâmetros:

   • Número total de partidas ($n$) = 4
   • Número de vitórias desejadas ($k$) = 2
   • Probabilidade de A vencer uma partida ($p$) = 0,6
   • Probabilidade de A não vencer (perder ou empatar, aqui considerado "perder") uma partida ($1-p) = \1 - 0,6 = 0,4$

2. Calcular a probabilidade de uma sequência específica de 2 vitórias e 2 derrotas. Por exemplo, A vence as duas primeiras e perde as duas últimas (VVPP):
   $P(VVPP) = 0,6 \times 0,6 \times 0,4 \times 0,4 = 0,36 \times 0,16 = 0,0576$.

3. Calcular o número de maneiras diferentes de A vencer 2 partidas em 4. Isso é dado pela fórmula de combinações $C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)$:
   $C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 4! / (2! * 2!) = (4 \times 3 \times 2 \times 1) / ((2 \times 1) \times (2 \times 1)) = 24 / 4 = 6$.
   Isso significa que existem 6 sequências diferentes de 2 vitórias e 2 derrotas (ex: VVPP, VPV P, VPPV, PVVP, PVPV, PPVV).

4. Multiplicar o número de maneiras pela probabilidade de uma sequência específica:
   Probabilidade de A vencer exatamente 2 vezes = $C(4, 2) \times p^2 \times (1-p)^2$
   Probabilidade = $6 \times (0,6)^2 \times (0,4)^2$
   Probabilidade = $6 \times 0,36 \times 0,16$
   Probabilidade = $6 \times 0,0576$
   Probabilidade = $0,3456$

5. Converter para porcentagem: $0,3456 \times 100\% = 34,56\%$.

Comentário das alternativas:

• (A) Incorreta: Esta alternativa (5,76%) representa a probabilidade de uma única sequência específica de 2 vitórias e 2 derrotas (por exemplo, A vence as duas primeiras e perde as duas últimas), ignorando que existem múltiplas formas de obter 2 vitórias. Armadilha da banca: O erro comum é esquecer de multiplicar pela quantidade de combinações possíveis.
• (B) Incorreta: Não há um cálculo direto que leve a este valor a partir dos dados fornecidos.
• (C) Incorreta: Não há um cálculo direto que leve a este valor a partir dos dados fornecidos.
• (D) Correta: Esta é a probabilidade correta calculada usando a fórmula da probabilidade binomial, que considera tanto a probabilidade de cada resultado individual quanto o número de maneiras distintas de obter o resultado desejado.