Questão de Estatística · FGV Receita Federal do Brasil 2023 - Manhã (nº 30)

A distribuição amostral descreve como uma estatística (como a média ou a variância de uma amostra) se comporta se repetirmos o processo de amostragem muitas vezes, ajudando a fazer inferências sobre a população.

(A) Incorreta: A afirmação I está correta, mas a alternativa A sugere que apenas I está correta, o que não é verdade.
(B) Incorreta: A afirmação II está incorreta. $\bar{X}$ e $Q$ são independentes para uma população normal, o que implica que não são correlacionadas (correlação zero), e não "fortemente correlacionadas". Esta é a principal armadilha, pois muitos confundem independência com ausência de relação, mas "fortemente correlacionadas" é o oposto de não correlacionadas.
(C) Correta:

• I. $\bar{X}$ tem distribuição normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2/n$. Esta afirmação é fundamental. Se a população de onde a amostra é retirada é normalmente distribuída $N(\mu, \sigma^2)$, então a média amostral $\bar{X}$ também será normalmente distribuída. Sua média esperada é a média populacional $\mu$, e sua variância é a variância populacional $\sigma^2$ dividida pelo tamanho da amostra $n$.
• III. $Q/\sigma^2$ tem distribuição qui-quadrado com $(n-1)$ graus de liberdade. Esta afirmação também é um resultado padrão para amostras de uma população normal. A soma dos quadrados dos desvios $Q = \sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$, quando dividida pela variância populacional $\sigma^2$, segue uma distribuição qui-quadrado ($\chi^2$) com $(n-1)$ graus de liberdade. Os graus de liberdade são $(n-1)$ porque um grau de liberdade é "perdido" ao estimar a média populacional $\mu$ pela média amostral $\bar{X}$.
  (D) Incorreta: A afirmação II está incorreta.
  (E) Incorreta: A afirmação II está incorreta.