Questão de Estatística · FGV Receita Federal do Brasil 2023 - Manhã (nº 29)

A distribuição binomial é usada para calcular a probabilidade de um certo número de "sucessos" em uma série de tentativas independentes, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e a probabilidade de sucesso é a mesma para todas as tentativas. Neste caso, "sucesso" é ter a característica C, e "fracasso" é não ter.

• n (número de tentativas) = 4 pessoas selecionadas
• p (probabilidade de sucesso) = 50% = 0,5
• q (probabilidade de fracasso) = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5

Queremos a probabilidade de que mais de uma pessoa tenha a característica C, ou seja, $P(X > 1)$. Isso significa $P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$.
É mais fácil calcular o complemento: $P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.

A fórmula da probabilidade binomial é $P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)$, onde $C(n, k)$ é o número de combinações de $n$ elementos tomados $k$ a $k$.

1. Calcular $P(X=0)$:
   $P(X=0) = C(4, 0) * (0,5)^0 * (0,5)^(4-0) = 1 * 1 * (0,5)^4 = 1 * 0,0625 = 0,0625$.

2. Calcular $P(X=1)$:
   $P(X=1) = C(4, 1) * (0,5)^1 * (0,5)^(4-1) = 4 * 0,5 * (0,5)^3 = 4 * 0,5 * 0,125 = 4 * 0,0625 = 0,25$.

3. Calcular $P(X \le 1)$:
   $P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,0625 + 0,25 = 0,3125$.

4. Calcular $P(X > 1)$:
   $P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) = 1 - 0,3125 = 0,6875$.

(A) Incorreta: Esta é a probabilidade de que uma ou menos pessoas tenham a característica C ($P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,3125$). A armadilha da banca é justamente oferecer o complemento da resposta correta, testando se o aluno entendeu a condição "mais de uma" ($X > 1$) e não "uma ou menos" ($X \le 1$).
(B) Incorreta: Valor não corresponde aos cálculos da distribuição binomial para este problema.
(C) Incorreta: Valor não corresponde aos cálculos da distribuição binomial para este problema.
(D) Correta: O cálculo de $1 - [P(X=0) + P(X=1)] resulta em \1 - 0,3125 = 0,6875$, que é a probabilidade de que mais de uma pessoa tenha a característica C.
(E) Incorreta: Valor não corresponde aos cálculos da distribuição binomial para este problema.