Questão de Raciocínio Lógico-Matemático e Estatística · FGV Receita Federal do Brasil 2023 - Manhã (nº 26)

Um jogo honesto (ou justo) é aquele em que o valor esperado (a média ponderada dos resultados pelos suas probabilidades) de ganho para cada jogador é zero, ou seja, nenhum jogador tem vantagem a longo prazo. Para que um jogo seja justo, o produto da probabilidade de um jogador ganhar pelo valor que ele recebe deve ser igual ao produto da probabilidade do outro jogador ganhar pelo valor que ele recebe.

Vamos analisar o problema:

1. Total de resultados possíveis: Ao lançar dois dados regulares, cada dado tem 6 faces. O número total de combinações é $6 \times 6 = 36$.
2. Condição para Edson ganhar: "dois números maiores do que 3". Os números maiores que 3 são 4, 5 e 6.
   As combinações para Edson ganhar são: (4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6).
   Há $3 \times 3 = 9$ resultados favoráveis a Edson.
3. Probabilidade de Edson ganhar ($P_E$): $P_E = \text{Número de resultados favoráveis} / \text{Total de resultados} = 9/36 = 1/4$.
4. Condição para Roberto ganhar: "Caso contrário, ganha Roberto".
   Isso significa que Roberto ganha em todos os outros resultados.
   Número de resultados favoráveis a Roberto: $36 - 9 = 27$.
5. Probabilidade de Roberto ganhar ($P_R$): $P_R = 27/36 = 3/4$. (Ou $P_R = 1 - P_E = 1 - 1/4 = 3/4$).
6. Cálculo para um jogo honesto:
   Se Edson perde (Roberto ganha), Edson paga a Roberto 10 reais.
   Queremos saber quanto Roberto deve pagar a Edson se Roberto perder (Edson ganhar). Chamemos esse valor de $X$.
   Para um jogo honesto, o valor esperado de ganho para Edson deve ser zero:
   $P_E \times (\text{ganho de Edson}) + P_R \times (\text{perda de Edson}) = 0$
   $P_E \times X + P_R \times (-10) = 0$
   $(1/4) \times X - (3/4) \times 10 = 0$
   $(1/4) \times X = (3/4) \times 10$
   Multiplicando ambos os lados por 4:
   $X = 3 \times 10$
   $X = 30$ reais.

(A) Incorreta: O valor de 18 reais não corresponde à condição de um jogo honesto, que exige que os pagamentos sejam inversamente proporcionais às probabilidades de vitória de cada jogador.
(B) Incorreta: O valor de 24 reais não satisfaz a condição de valor esperado zero para um jogo justo, dada a distribuição das probabilidades de vitória.
(C) Correta: Para um jogo honesto, o valor que Roberto deve pagar a Edson se perder (30 reais) é tal que o produto da probabilidade de Edson ganhar pelo valor que ele recebe ($1/4 \times 30 = 7,5$) é igual ao produto da probabilidade de Roberto ganhar pelo valor que ele recebe ($3/4 \times 10 = 7,5$). Assim, o valor esperado de ganho para qualquer jogador é zero.
(D) Incorreta: O valor de 42 reais não se alinha com a proporção correta das probabilidades para garantir que o jogo seja justo.
(E) Incorreta: O valor de 46 reais é muito alto e não reflete a relação de probabilidades calculada para um jogo honesto. A armadilha da banca aqui seria não calcular corretamente as probabilidades ou não aplicar a fórmula do valor esperado de forma adequada, levando a uma estimativa incorreta do pagamento.