Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV PSS IBGE 2025 2026 (nº 43)

Conceito-chave: A implicação lógica "Se A, então B" significa que a ocorrência de A garante a ocorrência de B. Uma forma equivalente de expressar essa implicação, com o mesmo valor de verdade, é a sua contrapositiva: "Se não B, então não A". Se a contrapositiva é verdadeira, a implicação original também é, e vice-versa.

Vamos representar as proposições para facilitar a análise:
P: Maria não foi ao teatro.
Q: Maria não foi ao cinema.
R: João perdeu a aposta.
S: João não teve onde ficar.

A premissa pode ser escrita como: $(P \land Q) \rightarrow (R \land S)$.

O fato dado é: "João não ter perdido a aposta e Maria não ter ido ao cinema".
Isso se traduz em: $\neg R \land Q$.
Ou seja, sabemos que $\neg R$ é verdadeiro e $Q$ é verdadeiro.

Para resolver, aplicamos a contrapositiva à premissa original:
A contrapositiva de $(P \land Q) \rightarrow (R \land S)$ é $\neg (R \land S) \rightarrow \neg (P \land Q)$.

Usando as Leis de De Morgan para simplificar as negações:
$\neg (R \land S)$ é equivalente a $(\neg R \lor \neg S)$.
$\neg (P \land Q)$ é equivalente a $(\neg P \lor \neg Q)$.

Então, a contrapositiva se torna: $(\neg R \lor \neg S) \rightarrow (\neg P \lor \neg Q)$.

Agora, usamos o fato que temos: $\neg R$ é verdadeiro.
Se $\neg R$ é verdadeiro, então a expressão $(\neg R \lor \neg S)$ é verdadeira (pois em uma disjunção "ou", basta uma das partes ser verdadeira para que a expressão toda seja verdadeira).

Como o antecedente da contrapositiva $(\neg R \lor \neg S)$ é verdadeiro, e a contrapositiva é uma implicação verdadeira, pelo Modus Ponens, o consequente $(\neg P \lor \neg Q)$ também deve ser verdadeiro.

Então, deduzimos que: $\neg P \lor \neg Q$ é verdadeiro.

Agora, usamos a outra parte do fato que temos: $Q$ é verdadeiro.
Se $Q$ é verdadeiro, então $\neg Q$ é falso.

Temos a expressão $\neg P \lor \neg Q$ que é verdadeira.
Se $\neg Q$ é falso, para que a disjunção ($\lor$) seja verdadeira, a outra parte, $\neg P$, obrigatoriamente tem que ser verdadeira.

Portanto, $\neg P$ é verdadeiro.
$\neg P$ significa "Não (Maria não foi ao teatro)", o que é equivalente a "Maria foi ao teatro".

(A) Incorreta: Maria não foi ao teatro. Esta proposição é $P$. Nós deduzimos que $\neg P$ é verdadeiro, o que significa que $P$ é falso.
(B) Incorreta: João teve onde ficar. Esta proposição é $\neg S$. O fato de João não ter perdido a aposta ($\neg R$) faz com que a conjunção $(R \land S)$ seja falsa, independentemente do valor de $S$. Isso, por sua vez, força $(P \land Q)$ a ser falsa. A verdade de $\neg S$ (João teve onde ficar) não pode ser determinada a partir das informações dadas. Armadilha da banca: A menção a "não teve onde ficar" no consequente da premissa pode levar o aluno a tentar deduzir algo sobre isso, mas como $\neg R$ já torna o consequente falso, a verdade de $S$ (ou $\neg S$) não é relevante para a validade da premissa e não pode ser inferida.
(C) Correta: Maria foi ao teatro. Esta proposição é $\neg P$. Conforme demonstrado na dedução acima, $\neg P$ é verdadeiro.
(D) Incorreta: João ficou com Maria. Esta informação não pode ser deduzida da premissa ou do fato, pois não há elementos para tal conclusão.
(E) Incorreta: João não teve onde ficar. Esta proposição é $S$. Assim como $\neg S$, o valor de verdade de $S$ não pode ser determinado a partir das informações dadas.