Questão de Raciocínio Lógico · FGV PSS IBGE 2021 2022 (nº 19)

Uma fração contínua é uma forma de representar um número real como a soma de sua parte inteira e o inverso de outro número, que por sua vez é representado da mesma forma, e assim sucessivamente. Para resolver uma fração contínua infinita, identificamos a parte que se repete e a substituímos por uma variável, formando uma equação algébrica.

Resolução:
A expressão dada é $x = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}$.
A parte que se repete infinitamente é $2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}$.
Vamos chamar essa parte repetitiva de $y$. Assim, podemos escrever $y = 2 + \frac{1}{y}$.

Para resolver $y$:
$y^2 = 2y + 1$
$y^2 - 2y - 1 = 0$
Usando a fórmula de Bhaskara ($y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$):
$y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2}$
$y = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$
$y = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$
$y = 1 \pm \sqrt{2}$
Como $y$ é uma soma de termos positivos, $y$ deve ser positivo. Portanto, $y = 1 + \sqrt{2}$.

Agora, substituímos o valor de $y$ de volta na expressão original para $x$:
$x = 1 + \frac{1}{y}$
$x = 1 + \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$
Para simplificar a fração, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador ($1 - \sqrt{2}$):
$x = 1 + \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \times \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$
$x = 1 + \frac{1 - \sqrt{2}}{1^2 - (\sqrt{2})^2}$
$x = 1 + \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2}$
$x = 1 + \frac{1 - \sqrt{2}}{-1}$
$x = 1 - (1 - \sqrt{2})$
$x = 1 - 1 + \sqrt{2}$
$x = \sqrt{2}$

O valor de $\sqrt{2}$ é aproximadamente $1,41421356...$. Comparando com as alternativas, 1,4 é o valor mais próximo.

(A) Incorreta: O valor exato de $x$ é $\sqrt{2}$, que é aproximadamente 1,414. 1,2 está muito distante desse valor.
(B) Incorreta: O valor exato de $x$ é $\sqrt{2}$, que é aproximadamente 1,414. 1,25 está distante desse valor.
(C) Correta: O valor de $x$ é $\sqrt{2}$, que é aproximadamente 1,414. Entre as alternativas, 1,4 é a que mais se aproxima desse valor.
(D) Incorreta: O valor exato de $x$ é $\sqrt{2}$, que é aproximadamente 1,414. 1,5 está acima e distante desse valor.
(E) Incorreta: Esta alternativa seria tentadora se o aluno confundisse a estrutura da fração contínua e assumisse que a repetição incluía o primeiro termo '1', ou seja, $x = 1 + \frac{1}{x}$. Isso levaria à equação $x^2 - x - 1 = 0$, cuja solução positiva é $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$ (o número áureo), que é próximo de 1,6. No entanto, a repetição da fração contínua na questão começa apenas a partir do termo '2'.