Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV PMAC 2023 (nº 25)

Para resolver problemas de contagem onde algo não pode acontecer, a estratégia mais comum é calcular o total de arranjos possíveis e subtrair os arranjos onde a condição proibida acontece.

Total de arranjos:
Temos 5 livros diferentes. O número total de maneiras de arrumar 5 itens distintos é $5!$(5 fatorial).$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Arranjos onde os livros de Matemática ficam adjacentes:
Para que os dois livros de Matemática (M1 e M2) fiquem sempre juntos, podemos considerá-los como um único "bloco".
Então, estamos arrumando 4 "itens": (M1 M2), G1, G2, G3.
O número de maneiras de arrumar esses 4 itens é $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Além disso, dentro do "bloco" (M1 M2), os dois livros de Matemática podem trocar de posição entre si (M1 M2 ou M2 M1). O número de maneiras de arrumar 2 itens é $2! = 2 \times 1 = 2$.
Portanto, o número total de arranjos onde os livros de Matemática ficam adjacentes é $4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$.

Arranjos onde os livros de Matemática nunca ficam adjacentes:
Subtraímos os arranjos onde eles ficam adjacentes do total de arranjos:
$120 - 48 = 72$.

(A) Incorreta: Não corresponde a nenhum cálculo lógico para a condição dada.
(B) Incorreta: Este valor ($4!$) representaria a arrumação de 4 itens, mas não considera a permutação interna dos livros de Matemática quando adjacentes, nem a subtração do total. **(C) Incorreta:** Não corresponde a nenhum cálculo lógico para a condição dada. **(D) Incorreta:** Este é o número de arrumações em que os livros de Matemática **ficam adjacentes** ($4! \times 2! = 48). É um passo intermediário importante, mas não a resposta final para a condição de "nunca fiquem adjacentes". A armadilha é calcular este valor e parar, confundindo a condição "adjacentes" com "nunca adjacentes". **(E) Correta:** O número de formas distintas de arrumar os livros de modo que os livros de Matemática nunca fiquem adjacentes é calculado subtraindo o número de arranjos onde eles ficam adjacentes (48) do número total de arranjos (120), resultando em \120 - 48 = 72$.