Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV PMAC 2023 (nº 21)

O desvio padrão é uma medida de dispersão que indica o quanto os dados de um conjunto se afastam da média (o valor central). Quanto maior o desvio padrão, mais espalhados os dados estão. Ele é calculado como a raiz quadrada da variância.

Para encontrar o desvio padrão, primeiro precisamos descobrir quais são os 5 números inteiros. Seja o conjunto ordenado $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$.

1. Média = 5: $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) / 5 = 5 \implies x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 25$.
2. Mediana = 6: O número do meio é $x_3 = 6$.
3. Moda = 7: O número que mais aparece é 7. Como o conjunto é unimodal e $x_3=6$, o 7 deve aparecer mais de uma vez e ser maior que 6. A única forma de 7 ser a moda e $x_3=6$ é se $x_4=7$ e $x_5=7$. (Se 7 aparecesse apenas uma vez, e todos os outros números fossem distintos, não haveria moda ou todos seriam moda, o que contradiz "unimodal".)
4. Diferença entre o maior e o menor = 5: $x_5 - x_1 = 5$.

Com $x_3=6$, $x_4=7$, $x_5=7$:

• A soma se torna $x_1 + x_2 + 6 + 7 + 7 = 25 \implies x_1 + x_2 + 20 = 25 \implies x_1 + x_2 = 5$.
• A diferença $x_5 - x_1 = 5$ se torna $7 - x_1 = 5 \implies x_1 = 2$.
• Substituindo $x_1=2$ em $x_1 + x_2 = 5 \implies 2 + x_2 = 5 \implies x_2 = 3$.

Então, o conjunto de números é $\{2, 3, 6, 7, 7\}$.
Vamos verificar todas as condições:

• Inteiros: Sim.
• Média: $(2+3+6+7+7)/5 = 25/5 = 5$. Sim.
• Mediana: O número do meio é 6. Sim.
• Moda: 7 (aparece duas vezes, os outros uma vez). Sim.
• Diferença (amplitude): $7 - 2 = 5$. Sim.

Agora, calculamos a variância ($\sigma^2$), que é o valor cuja raiz quadrada é o desvio padrão. A fórmula da variância para uma população é $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}$, onde $\mu$ é a média e $N$ é o número de elementos.

• Média ($\mu$) = 5.
• Número de elementos ($N$) = 5.

Calculamos os desvios em relação à média e os elevamos ao quadrado:

• $(2 - 5)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(3 - 5)^2 = (-2)^2 = 4$
• $(6 - 5)^2 = (1)^2 = 1$
• $(7 - 5)^2 = (2)^2 = 4$
• $(7 - 5)^2 = (2)^2 = 4$

A soma dos quadrados dos desvios é $9 + 4 + 1 + 4 + 4 = 22$. A variância é$\sigma^2 = \frac{22}{5} = 4.4$.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. A questão pede "o desvio padrão desse conjunto de 5 números pode ser calculado como a raiz quadrada de", ou seja, ela pede o valor da variância.

(A) Correta: O valor da variância é 4,4. A questão pede o valor que está sob a raiz quadrada para calcular o desvio padrão, que é a própria variância.
(B) Incorreta: Esta alternativa seria resultado de um erro de cálculo na soma dos quadrados dos desvios ou na divisão.
(C) Incorreta: Esta alternativa seria resultado de um erro de cálculo na soma dos quadrados dos desvios ou na divisão.
(D) Incorreta: Esta alternativa seria resultado de um erro de cálculo na soma dos quadrados dos desvios ou na divisão.
(E) Incorreta: Esta alternativa seria resultado de um erro de cálculo na soma dos quadrados dos desvios ou na divisão.