Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV PMAC 2023 (nº 21)

O desvio padrão é uma medida de dispersão que indica o quanto os dados de um conjunto se afastam da média (o valor central). Ele é calculado como a raiz quadrada da variância, que, por sua vez, é a média dos quadrados das diferenças de cada número em relação à média do conjunto.

Resolução do problema:

1. Encontrar os 5 números inteiros:

   • Seja o conjunto ordenado $x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5$.
   • Média = 5: A soma dos 5 números é $5 \times 5 = 25$. ($x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 25$).
   • Mediana = 6: Para 5 números ordenados, a mediana é o termo do meio, então $x_3 = 6$.
   • Moda = 7: O número que mais se repete é 7. Como $x_3=6$ e os números estão ordenados, para 7 ser a moda única (unimodal), ele deve aparecer pelo menos duas vezes e ser maior que $x_3$. Assim, $x_4=7$ e $x_5=7$. (Se $x_1$ ou $x_2$ fossem 7, violaria a ordem ou a unimodalidade com $x_3=6$).
   • Diferença entre o maior e o menor = 5: $x_5 - x_1 = 5$. Como $x_5 = 7$, temos $7 - x_1 = 5 \implies x_1 = 2$.

   Até agora, temos o conjunto: $\{2, x_2, 6, 7, 7\}$.
   Usando a soma total (25): $2 + x_2 + 6 + 7 + 7 = 25 \implies 22 + x_2 = 25 \implies x_2 = 3$.

   Portanto, o conjunto de números é: $\{2, 3, 6, 7, 7\}$.
   Verificando as condições: Média $(2+3+6+7+7)/5 = 25/5 = 5$. Mediana 6. Moda 7. Amplitude $7-2=5$. Todas as condições são satisfeitas.

2. Calcular a Variância ($\sigma^2$):
   A fórmula da variância populacional é $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}$, onde $\mu$ é a média (5) e $N$ é o número de elementos (5).

   • $(2 - 5)^2 = (-3)^2 = 9$
   • $(3 - 5)^2 = (-2)^2 = 4$
   • $(6 - 5)^2 = (1)^2 = 1$
   • $(7 - 5)^2 = (2)^2 = 4$
   • $(7 - 5)^2 = (2)^2 = 4$

   A soma dos quadrados das diferenças é $9 + 4 + 1 + 4 + 4 = 22$. A variância é$\sigma^2 = 22 / 5 = 4.4$.

3. Interpretar a pergunta:
   A pergunta pede "O desvio padrão desse conjunto de 5 números pode ser calculado como a raiz quadrada de". Isso significa que o valor procurado é a variância, ou seja, o número que fica dentro da raiz quadrada para se obter o desvio padrão.

   Portanto, o desvio padrão é a raiz quadrada de 4.4.

• (A) Correta: O valor 4,4 é a variância do conjunto de números, e a questão pede "a raiz quadrada de" esse valor para obter o desvio padrão.
• (B) Incorreta: Este valor não corresponde à variância calculada (4,4).
• (C) Incorreta: Este valor não corresponde à variância calculada (4,4).
• (D) Incorreta: Este valor não corresponde à variância calculada (4,4).
• (E) Incorreta: Este valor não corresponde à variância calculada (4,4). Armadilha da banca: A principal armadilha seria se o aluno calculasse o desvio padrão ($\sqrt{4.4} \approx 2.097$) e procurasse esse valor nas alternativas, ou se cometesse um erro de cálculo na obtenção dos números ou da variância, resultando em um dos outros valores próximos. A pergunta é clara ao pedir o valor dentro da raiz quadrada.