Questão de Raciocínio Lógico · FGV PM-AM 2021 (nº 40)

Para resolver problemas de conjuntos, usamos a fórmula que relaciona o total de elementos, a quantidade de elementos em cada grupo e a quantidade de elementos na interseção (os que estão em ambos) e na união (os que estão em pelo menos um). O complemento são os que não estão em nenhum dos grupos.

Dados:
Total de soldados ($|U|$) = 45
Gostam de marchar ($|M|$) = 27
Gostam de praticar tiro ao alvo ($|T|$) = 38

$X$: soldados que gostam de marchar E de tiro ao alvo ($|M \cap T|$).
$Y$: soldados que NÃO gostam NEM de marchar NEM de tiro ao alvo ($|U| - |M \cup T|$).

A fórmula da união de dois conjuntos é: $|M \cup T| = |M| + |T| - |M \cap T|$.
Substituindo os valores conhecidos:
$|M \cup T| = 27 + 38 - X$
$|M \cup T| = 65 - X$

Agora, relacionamos $Y$ com a união:
$Y = |U| - |M \cup T|$
$Y = 45 - (65 - X)$
$Y = 45 - 65 + X$
$Y = X - 20$

Esta é a relação fundamental entre $X$ e $Y$.

Precisamos também considerar os limites para $X$ e $Y$:

1. O número de soldados que gostam de ambos ($X$) não pode ser maior que o número de soldados em qualquer um dos grupos: $X \le 27$ e $X \le 38$. Logo, $X \le 27$.
2. O número de soldados que gostam de pelo menos um ($|M \cup T|$) não pode ser maior que o total de soldados: $|M \cup T| \le 45$.
   $65 - X \le 45 \implies 65 - 45 \le X \implies 20 \le X$.
   Portanto, $X$ está no intervalo $20 \le X \le 27$.

Usando a relação $Y = X - 20$:
Se $X = 20$, então $Y = 20 - 20 = 0$.
Se $X = 27$, então $Y = 27 - 20 = 7$.
Portanto, $Y$ está no intervalo $0 \le Y \le 7$.

• (A) Incorreta: $X$ é no máximo 20. Pelo nosso cálculo, $X$ é no mínimo 20 e no máximo 27 ($20 \le X \le 27$).
• (B) Incorreta: $Y$ é no mínimo 7. Pelo nosso cálculo, $Y$ é no mínimo 0 e no máximo 7 ($0 \le Y \le 7$).
• (C) Incorreta: quando $X = 23$, tem-se $Y = 7$. Usando a relação $Y = X - 20$, se $X = 23$, então $Y = 23 - 20 = 3$.
• (D) Incorreta: quando $Y = 7$, tem-se $X = 20$. Usando a relação $X = Y + 20$, se $Y = 7$, então $X = 7 + 20 = 27$. Armadilha da banca: Esta alternativa tenta confundir os valores extremos. $X=20$ corresponde a $Y=0$, e $Y=7$ corresponde a $X=27$.
• (E) Correta: quando $Y = 5$, tem-se $X = 25$. Usando a relação $X = Y + 20$, se $Y = 5$, então $X = 5 + 20 = 25$. Este valor de $X$ (25) está dentro do intervalo válido ($20 \le 25 \le 27$), e o valor de $Y$ (5) também está dentro do intervalo válido ($0 \le 5 \le 7$).