Questão de Matemática · FGV PCERJ 2021 (nº 28)

A probabilidade é a medida da chance de um evento ocorrer, calculada dividindo o número de resultados favoráveis (o que queremos que aconteça) pelo número total de resultados possíveis (tudo o que pode acontecer).

Vamos analisar a situação:

• Temos 13 cadeiras numeradas de 1 a 13.
• Três pessoas já estão sentadas nas cadeiras 3, 8 e 11.
• A quarta pessoa vai se sentar em uma das cadeiras restantes.

1. Total de resultados possíveis (denominador):
   As cadeiras 3, 8 e 11 já estão ocupadas. Portanto, a quarta pessoa pode se sentar em qualquer uma das cadeiras restantes.
   Número de cadeiras restantes = 13 (total) - 3 (ocupadas) = 10 cadeiras.
   Essas 10 cadeiras são: {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13}.

2. Resultados favoráveis (numerador):
   Queremos que a quarta pessoa NÃO se sente ao lado de nenhuma pessoa já sentada.
   As cadeiras já ocupadas são: 3, 8, 11.
   As cadeiras "ao lado" (adjacentes) dessas são:

   • Ao lado da cadeira 3: cadeiras 2 e 4.
   • Ao lado da cadeira 8: cadeiras 7 e 9.
   • Ao lado da cadeira 11: cadeiras 10 e 12.
     O conjunto de cadeiras adjacentes é {2, 4, 7, 9, 10, 12}.

   Agora, precisamos encontrar as cadeiras que estão disponíveis para a quarta pessoa (as 10 cadeiras restantes) E que NÃO são adjacentes a ninguém.
   Cadeiras restantes: {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13}
   Removendo as cadeiras adjacentes (2, 4, 7, 9, 10, 12) dessa lista, sobram as cadeiras:
   {1, 5, 6, 13}.
   Há 4 cadeiras onde a quarta pessoa pode se sentar sem estar ao lado de ninguém.

3. Cálculo da probabilidade:
   Probabilidade = (Número de resultados favoráveis) / (Número total de resultados possíveis)
   Probabilidade = 4 / 10 = 2 / 5.

Comentário das alternativas:

• (A) Incorreta: Esta alternativa ($\frac{1}{2}$) implicaria 5 resultados favoráveis, o que não corresponde à nossa contagem de 4 cadeiras favoráveis.
• (B) Incorreta: Esta alternativa ($\frac{1}{4}$) implicaria 2,5 resultados favoráveis, o que não é possível, ou uma base de cálculo diferente.
• (C) Correta: A probabilidade é de $\frac{4}{10}$, que simplifica para $\frac{2}{5}$, conforme calculado ao identificar 4 cadeiras favoráveis (1, 5, 6, 13) dentre as 10 cadeiras disponíveis para a quarta pessoa.
• (D) Incorreta: Esta alternativa ($\frac{7}{10}$) seria obtida se houvesse 7 cadeiras favoráveis. A armadilha aqui pode ser contar incorretamente as cadeiras adjacentes, talvez considerando apenas um lado de cada pessoa sentada como "ao lado" (por exemplo, 3 cadeiras adjacentes em vez de 6), levando a 13 - 3 (ocupadas) - 3 (adjacentes) = 7 cadeiras favoráveis. No entanto, "ao lado" inclui ambos os lados.
• (E) Incorreta: Esta alternativa ($\frac{4}{13}$) comete o erro de usar o número total inicial de cadeiras (13) como o denominador, em vez do número de cadeiras disponíveis para a quarta pessoa (10). As 3 cadeiras já ocupadas não são mais opções para o sorteio da quarta pessoa.