Questão de Matemática · FGV PCERJ 2021 (nº 22)

Quando um número é dividido por outro e deixa um resto, significa que, se tirarmos esse resto do número original, o resultado será um múltiplo do divisor. Para encontrar um número que satisfaz múltiplas condições de resto, procuramos um número que, ao subtrairmos o resto comum, se torne um múltiplo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos divisores.

• (A) Incorreta: Se o número fosse 164, ao dividir por 12, o resto seria 8 (164 = 12 * 13 + 8), e não 3.
• (B) Incorreta: Se o número fosse 168, ao dividir por 7 ou por 12, o resto seria 0 (168 é múltiplo de 7 e de 12), e não 3. Armadilha da banca: 168 é o MMC de 7 e 12, o que pode levar o aluno a pensar que é a resposta se esquecer do resto. No entanto, o problema exige que sobram 3, ou seja, o número é 3 unidades maior que um múltiplo comum.
• (C) Correta: O número de comprimidos, $N$, deixa resto 3 quando dividido por 7 e por 12. Isso significa que $N-3$ é um múltiplo de 7 e também de 12. Logo, $N-3$ é um múltiplo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de 7 e 12.
  • MMC(7, 12) = $7 \times 12 = 84$ (pois 7 é primo e 12 não tem 7 como fator).
  • Então, $N-3$ deve ser um múltiplo de 84. Os múltiplos de 84 são: 84, 168, 252, ...
  • Se $N-3 = 84$, então $N = 87$ (fora do intervalo 150-200).
  • Se $N-3 = 168$, então $N = 171$. Este valor está entre 150 e 200 ($150 < 171 < 200$).
  • Se $N-3 = 252$, então $N = 255$ (fora do intervalo 150-200).
  • Portanto, o número de comprimidos é 171.
• (D) Incorreta: Se o número fosse 177, ao dividir por 7, o resto seria 2 (177 = 7 * 25 + 2), e não 3.
• (E) Incorreta: Se o número fosse 182, ao dividir por 7, o resto seria 0 (182 = 7 * 26 + 0), e não 3.