Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV MPSP 2023 (nº 11)

Conjuntos são grupos de elementos (aqui, pessoas) com características em comum. Usamos diagramas de Venn para visualizar como esses grupos se sobrepõem, ou seja, quem tem uma, duas ou todas as características.

Para resolver, vamos preencher as regiões de um diagrama de Venn com as informações dadas:

1. Total de pessoas: 50.
2. Jogam Pôquer (P): 32.
3. Jogam Truco (T): 31.
4. Jogam Buraco (B): 30.

Agora, as informações sobre as interseções:

• "Quem joga buraco também joga truco ou pôquer." Isso significa que ninguém joga apenas buraco. A região de quem joga só Buraco é 0.
• "Dos que jogam truco, 8 jogam buraco, mas não pôquer." Esta é a região $T \cap B \cap P^c = 8$. (Truco e Buraco, sem Pôquer).
• "Dos que jogam pôquer, 12 jogam buraco, mas não truco." Esta é a região $P \cap B \cap T^c = 12$. (Pôquer e Buraco, sem Truco).
• "A metade dos que jogam pôquer também joga truco." Isso significa que a interseção entre Pôquer e Truco é $|P \cap T| = 32 / 2 = 16$.

Vamos calcular a interseção dos três jogos ($P \cap T \cap B$):
Sabemos que o total de pessoas que jogam Buraco ($|B| = 30$) é a soma de todas as regiões dentro de B. Como ninguém joga apenas Buraco, temos:
$|B| = (P \cap B \cap T^c) + (T \cap B \cap P^c) + (P \cap T \cap B)$
$30 = 12 + 8 + (P \cap T \cap B)$
$30 = 20 + (P \cap T \cap B)$
$P \cap T \cap B = 10$. (10 pessoas jogam os três jogos).

Agora, vamos calcular a região de quem joga Pôquer e Truco, mas não Buraco ($P \cap T \cap B^c$):
Sabemos que $|P \cap T| = 16$.
$|P \cap T| = (P \cap T \cap B) + (P \cap T \cap B^c)$
$16 = 10 + (P \cap T \cap B^c)$
$P \cap T \cap B^c = 6$. (6 pessoas jogam Pôquer e Truco, mas não Buraco).

Agora, as regiões de quem joga apenas um jogo:

• Apenas Pôquer ($P \cap T^c \cap B^c$):
  $|P| = (P \cap T \cap B) + (P \cap B \cap T^c) + (P \cap T \cap B^c) + (P \cap T^c \cap B^c)$
  $32 = 10 + 12 + 6 + (P \cap T^c \cap B^c)$
  $32 = 28 + (P \cap T^c \cap B^c)$
  $P \cap T^c \cap B^c = 4$. (4 pessoas jogam apenas Pôquer).
• Apenas Truco ($T \cap P^c \cap B^c$):
  $|T| = (P \cap T \cap B) + (T \cap B \cap P^c) + (P \cap T \cap B^c) + (T \cap P^c \cap B^c)$
  $31 = 10 + 8 + 6 + (T \cap P^c \cap B^c)$
  $31 = 24 + (T \cap P^c \cap B^c)$
  $T \cap P^c \cap B^c = 7$. (7 pessoas jogam apenas Truco).
• Apenas Buraco ($B \cap P^c \cap T^c$): Já definimos que é 0.

Somando todas as regiões de quem joga pelo menos um jogo:
$10 (P \cap T \cap B) + 12 (P \cap B \cap T^c) + 8 (T \cap B \cap P^c) + 6 (P \cap T \cap B^c) + 4 (Apenas P) + 7 (Apenas T) + 0 (Apenas B) = 47$.
Ou seja, 47 pessoas jogam pelo menos um dos três jogos.

O número de pessoas que não jogam nenhum desses três jogos é o total de pessoas menos as que jogam pelo menos um jogo:
$50 - 47 = 3$.

(A) Incorreta: O cálculo mostra que há pessoas que não jogam nenhum dos jogos.
(B) Incorreta: O cálculo final não resulta em 1.
(C) Incorreta: O cálculo final não resulta em 2.
(D) Correta: O número de pessoas que não jogam nenhum dos três jogos é 3, obtido ao subtrair o total de pessoas que jogam pelo menos um jogo (47) do total de pessoas no grupo (50).
(E) Incorreta: O cálculo final não resulta em 4. A armadilha mais tentadora aqui seria um erro na interpretação de "Quem joga buraco também joga truco ou pôquer", que significa que a região de apenas Buraco é zero. Se essa condição fosse ignorada ou mal interpretada, os cálculos subsequentes (especialmente a interseção dos três) seriam diferentes, levando a um resultado incorreto.