Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV MPRJ 2025 (nº 40)

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números onde a diferença entre um termo e seu antecessor é sempre a mesma, chamada de razão (r). Para calcular a soma dos termos de uma PA, usamos a fórmula $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, onde $a_1$ é o primeiro termo, $a_n$ é o último termo e $n$ é o número de termos.

Vamos analisar o planejamento de Joana em três fases:

Fase 1: Os 6 primeiros meses

• Começa com R$ 100,00 ($a_1 = 100$).
• A cada mês, R$ 100,00 a mais que no mês anterior (razão $r = 100$).
• Número de meses $n = 6$.
• O valor poupado no 6º mês ($a_6$) é $a_6 = a_1 + (n-1)r = 100 + (6-1)100 = 100 + 5 \cdot 100 = 100 + 500 = 600$.
• A soma poupada na Fase 1 ($S_6$) é $S_6 = \frac{(a_1 + a_6) \cdot n}{2} = \frac{(100 + 600) \cdot 6}{2} = \frac{700 \cdot 6}{2} = 700 \cdot 3 = 2100$.

Fase 2: Os 6 meses seguintes (do 7º ao 12º mês)

• A mesma quantia a cada mês, igual à quantia poupada no 6º mês (R$ 600,00).
• Número de meses $n = 6$.
• A soma poupada na Fase 2 é $6 \cdot 600 = 3600$.

Fase 3: Os 6 últimos meses (do 13º ao 18º mês)

• A cada mês, R$ 100,00 a mais do que no mês anterior. Isso significa que é uma nova PA, onde o primeiro termo é o valor do mês anterior (12º mês) acrescido de R$ 100,00.
• O valor poupado no 12º mês foi R$ 600,00 (da Fase 2).
• Então, o primeiro termo desta nova PA ($a_1'$) é $600 + 100 = 700$.
• A razão $r = 100$.
• Número de meses $n = 6$.
• O valor poupado no 18º mês ($a_6'$) é $a_6' = a_1' + (n-1)r = 700 + (6-1)100 = 700 + 5 \cdot 100 = 700 + 500 = 1200$.
• A soma poupada na Fase 3 ($S_6'$) é $S_6' = \frac{(a_1' + a_6') \cdot n}{2} = \frac{(700 + 1200) \cdot 6}{2} = \frac{1900 \cdot 6}{2} = 1900 \cdot 3 = 5700$.

Valor Total da Poupança:
Somando os valores das três fases:
Total = $2100 + 3600 + 5700 = 11400$.

Comentários sobre as alternativas:

• (A) Incorreta: R$ 1800,00 seria o valor se Joana poupasse R$ 100,00 fixos por 18 meses ($18 \times 100 = 1800$), ignorando completamente as progressões e aumentos.
• (B) Incorreta: R$ 3600,00 é o valor poupado apenas na Fase 2, ou seja, nos 6 meses do meio. É um distrator para quem calcula apenas uma parte do plano.
• (C) Incorreta: R$ 7200,00 é um distrator que pode surgir de uma série de erros. Uma possível armadilha é calcular a soma da Fase 1 como $6 \times 100 = 600$ (ignorando a PA), a Fase 2 como $6 \times 600 = 3600$ (correto), e a Fase 3 como $6 \times 500 = 3000$ (onde R$ 500,00 é o valor poupado no 5º mês da Fase 1, se o aluno o usasse incorretamente como valor constante para a Fase 3). Somando esses valores: $600 + 3600 + 3000 = 7200$.
• (D) Correta: R$ 11400,00 é o valor total da poupança, obtido pela soma correta das quantias poupadas em cada uma das três fases do planejamento: R$ 2100,00 (Fase 1) + R$ 3600,00 (Fase 2) + R$ 5700,00 (Fase 3).
• (E) Incorreta: R$ 12300,00 não corresponde a nenhum cálculo lógico a partir das informações fornecidas.