Questão de Administrativa · FGV MPMS 2012 (nº 27)

O conceito-chave aqui é que qualquer segmento de reta que passa pelo centro de um retângulo tem suas extremidades em pontos diametralmente opostos na borda do retângulo. Isso significa que se uma extremidade está em $(x, y)$, a outra estará em $(-x, -y)$. A medida (comprimento) desse segmento é dada pela fórmula da distância entre esses dois pontos: $L = \sqrt{(x - (-x))^2 + (y - (-y))^2} = \sqrt{(2x)^2 + (2y)^2} = 2\sqrt{x^2 + y^2}$. Precisamos encontrar quantos desses segmentos têm um comprimento que é um número inteiro.

Para o retângulo de lados 5 cm e 12 cm, podemos posicionar seu centro na origem $(0,0)$. Assim, os vértices do retângulo estarão em $(\pm 6, \pm 2.5)$.
A menor medida possível para um segmento que passa pelo centro é a largura do retângulo, que é o segmento vertical entre $(0, 2.5)$ e $(0, -2.5)$, com comprimento $L = 2 \times 2.5 = 5$ cm.
A maior medida possível é a diagonal do retângulo, que liga os vértices opostos. Por exemplo, de $(6, 2.5)$ a $(-6, -2.5)$. O comprimento é $L = 2\sqrt{6^2 + 2.5^2} = 2\sqrt{36 + 6.25} = 2\sqrt{42.25} = 2 \times 6.5 = 13$ cm.
Portanto, as medidas inteiras possíveis para esses segmentos variam de 5 cm a 13 cm, ou seja, $L \in \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}$.

Vamos contar os segmentos de forma sistemática:

1. Segmentos alinhados com os eixos ou diagonais (4 segmentos):

   • Segmento vertical: Extremidades em $(0, 2.5)$ e $(0, -2.5)$. Comprimento $L = 5$. (1 segmento)
   • Segmento horizontal: Extremidades em $(6, 0)$ e $(-6, 0)$. Comprimento $L = 12$. (1 segmento)
   • Diagonais: Extremidades nos vértices. Comprimento $L = 13$. Existem duas diagonais:
     • De $(6, 2.5)$ a $(-6, -2.5)$.
     • De $(-6, 2.5)$ a $(6, -2.5)$.
       (2 segmentos)
       Total: $1 + 1 + 2 = 4$ segmentos.

2. Outros segmentos com extremidades nos lados horizontais (14 segmentos):
   Para esses segmentos, uma extremidade está no lado superior ($y=2.5$) e a outra no lado inferior ($y=-2.5$).
   A fórmula do comprimento é $L = 2\sqrt{x^2 + (2.5)^2}$, onde $x$ é a coordenada horizontal da extremidade no lado superior (e $-x$ no lado inferior).
   Precisamos que $L$ seja um inteiro e que $x$ esteja no intervalo $(-6, 6)$ e $x \ne 0$ (para evitar os casos já contados).
   Isolando $x^2$: $x^2 = (L/2)^2 - (2.5)^2$.
   Os valores inteiros de $L$ que se encaixam nesse caso são $L \in \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$. (Note que $L=5$ e $L=13$ já foram contados).
   Para cada um desses 7 valores de $L$, teremos um valor positivo para $x^2$, o que significa que $x = \pm \sqrt{(L/2)^2 - (2.5)^2}$.
   Para cada $L$, obtemos dois valores de $x$: $x_L = \sqrt{(L/2)^2 - (2.5)^2}$ e $-x_L$.
   Esses $x_L$ estão entre 0 e 6 (excluindo 0 e 6).
   Cada par de $x$ valores define dois segmentos distintos:

   • Um segmento de $(x_L, 2.5)$ a $(-x_L, -2.5)$.
   • Outro segmento de $(-x_L, 2.5)$ a $(x_L, -2.5)$.
     Como há 7 valores de $L$, temos $7 \times 2 = 14$ segmentos adicionais.

3. Outros segmentos com extremidades nos lados verticais (0 segmentos):
   Para esses segmentos, uma extremidade está no lado direito ($x=6$) e a outra no lado esquerdo ($x=-6$).
   A fórmula do comprimento é $L = 2\sqrt{6^2 + y^2}$, onde $y$ é a coordenada vertical da extremidade no lado direito.
   Precisamos que $L$ seja um inteiro e que $y$ esteja no intervalo $(-2.5, 2.5)$ e $y \ne 0$.
   Isolando $y^2$: $y^2 = (L/2)^2 - 6^2$.
   Os valores inteiros de $L$ que se encaixam nesse caso seriam $L \in (12, 13)$. Não há números inteiros nesse intervalo. Portanto, não há segmentos adicionais com extremidades nos lados verticais (além dos já contados nas diagonais e no segmento horizontal).

Somando todos os segmentos: $4 + 14 = 18$.

Alternativas:

• (A) Incorreta: Esta alternativa subestima o número de segmentos, talvez por não considerar todos os casos de simetria ou por contar apenas alguns tipos de segmentos.
• (B) Incorreta: Esta alternativa subestima o número de segmentos, possivelmente por contar apenas os pontos em um dos lados do retângulo que geram comprimentos inteiros, ou por não considerar a existência de múltiplos segmentos para o mesmo comprimento inteiro.
• (C) Correta: Conforme a análise detalhada, existem 18 segmentos de reta que passam pelo centro do retângulo e têm suas extremidades sobre os lados, com medidas inteiras. A armadilha mais comum é não perceber que, para cada comprimento inteiro (exceto os eixos), existem dois segmentos distintos (um ligando o primeiro e terceiro quadrantes, e outro ligando o segundo e quarto quadrantes), e também que as duas diagonais são segmentos distintos, embora tenham o mesmo comprimento.
• (D) Incorreta: Esta alternativa superestima o número de segmentos, o que poderia acontecer por uma contagem duplicada ou por incluir comprimentos não inteiros.
• (E) Incorreta: Esta alternativa superestima o número de segmentos, o que poderia acontecer por uma contagem duplicada ou por incluir comprimentos não inteiros.