Questão de Administrativa · FGV MPMS 2012 (nº 26)

O problema descreve um processo de remoção iterativa (repetitiva) de partes de um segmento. A cada passo, um segmento é dividido em três e a parte do meio é retirada, o que significa que dois terços ($2/3$) do comprimento original de cada segmento são mantidos.

• 1ª Etapa: O segmento inicial de comprimento $x$ é dividido em três e a parte do meio é retirada.

  • Comprimento restante: $x \times \frac{2}{3} = \frac{2x}{3}$.

• 2ª Etapa: Cada um dos segmentos restantes (que somam $\frac{2x}{3}$) é novamente dividido em três e a parte do meio é retirada.

  • Comprimento restante: $\left(\frac{2x}{3}\right) \times \frac{2}{3} = \frac{4x}{9}$.

• 3ª Etapa (Final): Com cada um dos segmentos restantes (que somam $\frac{4x}{9}$), o processo é repetido pela última vez.

  • Comprimento restante: $\left(\frac{4x}{9}\right) \times \frac{2}{3} = \frac{8x}{27}$.

A soma dos comprimentos dos segmentos restantes é $\frac{8x}{27}$.

(A) Incorreta: Esta alternativa ($\frac{16x}{27}$) seria o resultado se o processo fosse repetido quatro vezes, ou seja, $(2/3)^4 x$. No entanto, o problema descreve claramente três etapas de repetição.
(B) Correta: Após três etapas de remoção, onde a cada etapa $2/3$do comprimento anterior é mantido, o comprimento final é$x \times (2/3) \times (2/3) \times (2/3) = x \times (2/3)^3 = \frac{8x}{27}$. **(C) Incorreta:** Esta alternativa ($\frac{4x}{9}$) seria a resposta se o processo fosse repetido apenas duas vezes, ou seja, se o aluno parasse na segunda etapa de remoção. A questão descreve uma terceira e última repetição ("Finalmente..."), o que é uma **armadilha comum** para quem não lê o enunciado até o fim ou interpreta mal o número de iterações. **(D) Incorreta:** Esta alternativa ($\frac{2x}{9}) não corresponde a nenhuma etapa lógica do processo descrito. Seria, por exemplo, \1/3$do comprimento restante após a primeira etapa, o que não faz sentido para a soma total. **(E) Incorreta:** Esta alternativa ($\frac{x}{3}$) seria o comprimento de um dos dois segmentos restantes após a primeira etapa, e não a soma total dos comprimentos restantes após todas as etapas.