Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV MP-SC 2022 (nº 25)

Quando temos uma equação do 2º grau na forma $ax^2 + bx + c = 0$, as raízes (os valores de x que satisfazem a equação) têm relações especiais com os coeficientes $a$, $b$ e $c$: a soma das raízes é sempre $-b/a$ e o produto das raízes é sempre $c/a$.

• Cálculo:
  A equação dada é $x^2 - 7x + 4 = 0$. Aqui, $a=1$, $b=-7$ e $c=4$.
  Se A e B são as raízes:

  • Soma das raízes ($A+B$) = $-b/a = -(-7)/1 = 7$.
  • Produto das raízes ($AB$) = $c/a = 4/1 = 4$.
    Queremos encontrar o valor de $A^2 + B^2$. Sabemos que $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
    Podemos rearranjar isso para $A^2 + B^2 = (A+B)^2 - 2AB$.
    Substituindo os valores que encontramos:
    $A^2 + B^2 = (7)^2 - 2(4)$
    $A^2 + B^2 = 49 - 8$
    $A^2 + B^2 = 41$.

• (A) Incorreta: O valor 49 é $(A+B)^2$, que é a soma das raízes ao quadrado, mas não é $A^2 + B^2$. Esta é a armadilha da banca, pois é um passo intermediário comum no cálculo correto.

• (B) Correta: O valor 41 é obtido corretamente a partir da relação $A^2 + B^2 = (A+B)^2 - 2AB$, utilizando a soma e o produto das raízes da equação.

• (C) Incorreta: O valor 36 não corresponde a nenhuma operação direta ou relação das raízes da equação.

• (D) Incorreta: O valor 28 não corresponde a nenhuma operação direta ou relação das raízes da equação.

• (E) Incorreta: O valor 11 não corresponde a nenhuma operação direta ou relação das raízes da equação.