Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV MP-SC 2022 (nº 26)

Para calcular a potência de uma matriz, como $A^2$, você deve multiplicar a matriz por ela mesma ($A \times A$), seguindo as regras da multiplicação de matrizes: cada elemento da nova matriz é o resultado da soma dos produtos dos elementos de uma linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes de uma coluna da segunda matriz.

• (A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da soma dos elementos de $A^2$.
• (B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da soma dos elementos de $A^2$.
• (C) Incorreta: Esta seria a soma dos elementos se a operação $A^2$ fosse feita elevando cada elemento da matriz $A$ ao quadrado individualmente (ou seja, $\begin{bmatrix} 2^2 & 1^2 \ 3^2 & 1^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \ 9 & 1 \end{bmatrix}$, e a soma seria $4+1+9+1=15$). Esta é uma armadilha comum para quem confunde a exponenciação de matrizes com a exponenciação elemento a elemento.
• (D) Correta: Primeiro, calculamos $A^2 = A \times A$:
  $A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 3 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 3 & 1 \end{bmatrix}$
  Os elementos de $A^2$ são:
  $A^2_{11} = (2 \times 2) + (1 \times 3) = 4 + 3 = 7$
  $A^2_{12} = (2 \times 1) + (1 \times 1) = 2 + 1 = 3$
  $A^2_{21} = (3 \times 2) + (1 \times 3) = 6 + 3 = 9$
  $A^2_{22} = (3 \times 1) + (1 \times 1) = 3 + 1 = 4$
  Assim, $A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 3 \ 9 & 4 \end{bmatrix}$.
  A soma dos elementos de $A^2$ é $7 + 3 + 9 + 4 = 23$.
• (E) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da soma dos elementos de $A^2$.