Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV MP-SC 2022 (nº 22)

O determinante de uma matriz muda de valor de forma previsível quando suas linhas ou colunas são alteradas. Especificamente, multiplicar uma linha/coluna por um número $k$ multiplica o determinante por $k$, e trocar duas linhas/colunas de lugar multiplica o determinante por $-1$.

Para as matrizes dadas:
$A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & k \end{bmatrix}$
$B = \begin{bmatrix} 2a & c & 3b \ 2d & f & 3e \ 2g & k & 3h \end{bmatrix}$

Podemos representar as colunas de A como $C_1 = \begin{bmatrix} a \ d \ g \end{bmatrix}$, $C_2 = \begin{bmatrix} b \ e \ h \end{bmatrix}$ e $C_3 = \begin{bmatrix} c \ f \ k \end{bmatrix}$.
Então, $A = [C_1, C_2, C_3]$ e $\det(A) = \det([C_1, C_2, C_3])$.

Observando as colunas de B:
A primeira coluna de B é $2C_1$.
A segunda coluna de B é $C_3$.
A terceira coluna de B é $3C_2$.
Portanto, $B = [2C_1, C_3, 3C_2]$.

Agora, vamos calcular $\det(B)$ a partir de $\det(A)$ usando as propriedades dos determinantes:

1. Fatorar o escalar 2 da primeira coluna de B:
   \det(B) = 2 \times \det([C_1, C_3, 3C_2])\

2. Fatorar o escalar 3 da terceira coluna de B:
   $\det(B) = 2 \times 3 \times \det([C_1, C_3, C_2])$
   \det(B) = 6 \times \det([C_1, C_3, C_2])\

3. Comparar a matriz $[C_1, C_3, C_2]$ com a matriz $A = [C_1, C_2, C_3]$.
   A matriz $[C_1, C_3, C_2]$ é obtida de $A$ trocando-se a segunda coluna ($C_2$) com a terceira coluna ($C_3$).
   Uma troca de colunas inverte o sinal do determinante.
   Então, $\det([C_1, C_3, C_2]) = - \det([C_1, C_2, C_3]) = - \det(A)$.

4. Substituir de volta na expressão para $\det(B)$:
   $\det(B) = 6 \times (-\det(A))$
   $\det(B) = -6 \det(A)$.

A) Incorreta: A relação de sinal e o fator numérico estão errados.
B) Incorreta: O fator numérico está correto, mas a relação de sinal está invertida.
C) Incorreta: Esta é a alternativa mais tentadora. O erro aqui é considerar apenas os fatores multiplicativos (2 da primeira coluna de B e 3 da terceira coluna de B) e esquecer que a ordem das colunas também foi alterada em relação à matriz A. A segunda coluna de B é a terceira de A, e a terceira coluna de B é a segunda de A (multiplicada por 3). Essa troca de posição entre a segunda e a terceira coluna (após os fatores terem sido considerados) introduz um sinal negativo que é crucial e frequentemente esquecido.
D) Correta: O determinante de B é obtido multiplicando o determinante de A por 2 (fator da 1ª coluna), por 3 (fator da 3ª coluna) e por -1 (devido à troca da 2ª e 3ª colunas de A para formar B). Assim, $\det(B) = 2 \times 3 \times (-1) \times \det(A) = -6 \det(A)$.
E) Incorreta: Os determinantes não são iguais.