Questão de TI - Ciência de Dados · FGV EPE 2024 (nº 74)

A Decomposição em Valores Singulares (SVD) é uma técnica que fatora uma matriz em três outras matrizes: $A = U \Sigma V^T$. A matriz $V$ (e $U$) é uma matriz ortogonal, o que significa que suas colunas (e linhas) são vetores ortonormais. Uma propriedade fundamental de matrizes ortogonais é que, quando multiplicadas por sua transposta, resultam na matriz identidade ($V V^T = I$).

• (A) Incorreta: Esta opção apresenta 10, que é um dos autovalores de $A^T A$ (e o quadrado do maior valor singular), e um número próximo de zero. A matriz $M$ não é diretamente os autovalores ou valores singulares.
• (B) Incorreta: Esta opção mostra 0.7071068, que é $1/\sqrt{2}$. Embora $V$ contenha elementos como $1/\sqrt{2}$ (ou $-1/\sqrt{2}$), a multiplicação $V \%*\% t(V)$ não resulta nesses valores na diagonal.
• (C) Incorreta: Os valores apresentados não correspondem a nenhum cálculo direto ou propriedade da operação $V V^T$.
• (D) Incorreta: Esta opção apresenta 3.162278e+00, que é $\sqrt{10}$, o maior valor singular da matriz $A$. O segundo valor é próximo de zero. Esta é a armadilha da banca, pois confunde a propriedade de ortogonalidade de $V$ com os valores singulares. Embora os valores singulares sejam importantes na SVD, a operação $V \%*\% t(V)$ não os produz. A matriz $V$ é ortogonal, e sua multiplicação pela sua transposta sempre resultará na matriz identidade, independentemente dos valores singulares.
• (E) Correta: A matriz V obtida da SVD é uma matriz ortogonal, o que significa que suas colunas são vetores ortonormais. Uma propriedade fundamental de qualquer matriz ortogonal $Q$ é que $Q Q^T = I$, onde $I$ é a matriz identidade. Portanto, $M = V \%*\% t(V)$ resultará na matriz identidade. Para uma matriz 2x2, a matriz identidade é $\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Assim, $M[1,1]$ será 1 e $M[2,2]$ será 1.