Questão de TI - Ciência de Dados · FGV EPE 2024 (nº 73)

Autovalores são números especiais que indicam como uma matriz "estica" ou "encolhe" vetores específicos, chamados autovetores. As normas L1 e L2 são maneiras de medir o "tamanho" ou a magnitude de um vetor, sendo a L1 a soma dos valores absolutos de seus elementos e a L2 a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus elementos.

Para resolver, primeiro calculamos os autovalores da matriz $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \ 4 & 3 \end{bmatrix}$. A equação característica é $\det(A - \lambda I) = 0$:
$(3-\lambda)(3-\lambda) - (4)(4) = 0$
$\lambda^2 - 6\lambda + 9 - 16 = 0$
$\lambda^2 - 6\lambda - 7 = 0$
Resolvendo a equação quadrática, encontramos os autovalores $\lambda_1 = 7$ e $\lambda_2 = -1$.
O vetor $v$ é formado por esses autovalores, então $v = \begin{bmatrix} 7 \ -1 \end{bmatrix}$.

Agora, calculamos as normas L1 e L2 de $v$:
Norma L1: $||v||_1 = |7| + |-1| = 7 + 1 = 8$.
Norma L2: $||v||_2 = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.

(A) Incorreta: A norma L1 calculada é 8, não 7; a norma L2 é $5\sqrt{2}$, não 8.
(B) Incorreta: A norma L1 calculada é 8, não 7; a norma L2 é $5\sqrt{2}$, não 25.
(C) Incorreta: A norma L1 calculada é 8, não 7; a norma L2 é $5\sqrt{2}$, não 50.
(D) Correta: A norma L1 de $v$ é 8 e a norma L2 de $v$ é $5\sqrt{2}$, que correspondem aos valores calculados.
(E) Incorreta: A norma L1 está correta (8), mas a norma L2 está incorreta. O valor 50 é o resultado da soma dos quadrados dos elementos ($7^2 + (-1)^2 = 49 + 1 = 50$), mas a norma L2 exige a raiz quadrada desse valor, ou seja, $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Esta é uma armadilha comum, onde o candidato esquece de aplicar a raiz quadrada final na norma L2.