Questão de Ciência de Dados · FGV EPE 2024 (nº 72)

Conceito-chave: Uma transformação linear $F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ fica totalmente determinada pelos valores que assume em uma base do domínio. Para achar a matriz $A$, você precisa escrever os vetores da base canônica $e_1=(1,0)$ e $e_2=(0,1)$ como combinação linear dos vetores dados $(2,1)$ e $(1,-1)$, e então aplicar $F$ nessas combinações.

(A) Incorreta: A matriz $A$ dada usa os vetores $F(2,1)$ e $F(1,-1)$ como colunas, mas isso só seria correto se a base fosse a canônica; como $(2,1)$ e $(1,-1)$ não são canônicos, essa matriz não representa $F$ na base padrão (a matriz correta seria $\begin{bmatrix} \frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} \ \frac{3\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \end{bmatrix}$).

(B) Correta: O item II está correto: resolvendo o sistema, obtém-se $F(1,0)=(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{3\sqrt2}{2})$ e $F(0,1)=(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2})$, logo a matriz de $F$ é $A=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \ \frac{3\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \end{bmatrix}$; a inversa dessa matriz é exatamente $B=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \ -\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \end{bmatrix}$ (verifique que $A \cdot B = I$).

(C) Incorreta: O item III afirma que aplicar $F$ quatro vezes volta ao vetor original, o que implicaria $F^4 = I$; mas como $F$ é uma rotação de $45^\circ$ (matriz $\begin{bmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ \ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{bmatrix}$) seguida de uma escala, $F^4$ resulta em uma rotação de $180^\circ$ com escala, não na identidade (na verdade $F^4(x,y) = -4(x,y)$).

(D) Incorreta: Como o item I é falso (a matriz está errada) e o item III também é falso, a combinação I e III não pode ser correta.

(E) Incorreta: Embora o item II seja verdadeiro, o item III é falso, então a combinação II e III não é correta.

Armadilha da banca no distrator A (o mais tentador): A banca coloca os vetores $F(2,1)$ e $F(1,-1)$ diretamente como colunas da matriz $A$, fazendo o aluno acreditar que a matriz de uma transformação é formada pelas imagens de quaisquer vetores. Isso só vale se os vetores de entrada forem a base canônica. O aluno que não testa com um vetor simples (ex.: $v=(1,0)$) cai na pegadinha e marca a alternativa A.