Questão de TI - Ciência de Dados · FGV EPE 2024 (nº 72)

Uma transformação linear é uma função que mapeia vetores de um espaço para outro, preservando as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. Em espaços de dimensão finita, como $\mathbb{R}^2$, toda transformação linear pode ser representada por uma matriz de transformação $A$, de modo que a transformação de um vetor $v$ é dada pelo produto matricial $Av$.

(A) Incorreta: A matriz $A$ de uma transformação linear $F$ é construída de forma que $F(v) = Av$. Para encontrar $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$, usamos os vetores dados.
Temos $F(2,1) = \begin{bmatrix} 2a+b \ 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt2}{2} \ \frac{3\sqrt2}{2} \end{bmatrix}$ e $F(1,-1) = \begin{bmatrix} a-b \ c-d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt2 \ 0 \end{bmatrix}$.
Resolvendo os sistemas de equações:
Para a primeira linha: $2a+b = \frac{\sqrt2}{2}$ e $a-b = \sqrt2$. Somando as equações, $3a = \frac{3\sqrt2}{2} \implies a = \frac{\sqrt2}{2}$. Substituindo, $b = a-\sqrt2 = \frac{\sqrt2}{2}-\sqrt2 = -\frac{\sqrt2}{2}$.
Para a segunda linha: $2c+d = \frac{3\sqrt2}{2}$ e $c-d = 0 \implies c=d$. Substituindo, $3c = \frac{3\sqrt2}{2} \implies c = \frac{\sqrt2}{2}$. Assim, $d = \frac{\sqrt2}{2}$.
Portanto, a matriz correta é $A = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} \ \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \end{bmatrix}$. A matriz apresentada na alternativa I é $A = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt2}{2} & \sqrt2 \ \frac{3\sqrt2}{2} & 0 \end{bmatrix}$, que é diferente. Armadilha: A matriz fornecida na alternativa I é formada pelos vetores de saída dados no problema, mas isso só seria a matriz de transformação se os vetores de entrada fossem os vetores da base canônica (ex: $F(1,0)$ e $F(0,1)$).

(B) Correta: O mapeamento inverso $F^{-1}$ é representado pela matriz inversa de $A$, ou seja, $B = A^{-1}$.
A matriz $A$ que encontramos é $A = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} \ \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \end{bmatrix}$.
O determinante de $A$ é $\det(A) = (\frac{\sqrt2}{2})(\frac{\sqrt2}{2}) - (-\frac{\sqrt2}{2})(\frac{\sqrt2}{2}) = \frac{2}{4} - (-\frac{2}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
A inversa de uma matriz $2 \times 2$, $\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$, é $\frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}$.
Assim, $A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \frac{\sqrt2}{2} & -(-\frac{\sqrt2}{2}) \ -\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \ -\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \end{bmatrix}$. Esta é exatamente a matriz $B$ apresentada na alternativa II.

(C) Incorreta: A transformação $F$ é uma rotação de $45^\circ$ (pois $A = \begin{bmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ \ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{bmatrix}$). Aplicar $F$ quatro vezes significa aplicar a matriz $A$ quatro vezes, ou seja, calcular $A^4$. Uma rotação de $45^\circ$ aplicada quatro vezes resulta em uma rotação total de $4 \times 45^\circ = 180^\circ$. A matriz de rotação de $180^\circ$ é $R_{180^\circ} = \begin{bmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$.
Portanto, $F(F(F(F(x,y)))) = A^4 \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = -I \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x \ -y \end{bmatrix}$, que é $(-x,-y)$, e não $(x,y)$. Para que fosse $(x,y)$, a rotação total deveria ser de $360^\circ$ (ou um múltiplo de $360^\circ$), o que exigiria $A^8$.