Questão de TI - Ciência de Dados · FGV EPE 2024 (nº 71)

Vetores são listas ordenadas de números que representam direções e magnitudes, enquanto matrizes são grades retangulares de números. O produto escalar ($u^\top v$) de dois vetores resulta em um escalar (um único número), e o produto vetorial ($u \times v$) de dois vetores tridimensionais resulta em um vetor perpendicular a ambos. A multiplicação de uma matriz por um vetor coluna resulta em um vetor coluna.

Vamos calcular os componentes necessários:
$u = \begin{bmatrix} 2 \ 4 \ -2 \end{bmatrix}$, v = \begin{bmatrix} -1 \ -3 \ 1 \end{bmatrix}\

1. Produto escalar $u^\top v$:
   $u^\top v = (2)(-1) + (4)(-3) + (-2)(1) = -2 - 12 - 2 = -16$. (Escalar)
2. Produto vetorial $u \times v$:
   $u \times v = \begin{bmatrix} (4)(1) - (-2)(-3) \ (-2)(-1) - (2)(1) \ (2)(-3) - (4)(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - 6 \ 2 - 2 \ -6 - (-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \ 0 \ -2 \end{bmatrix}$. (Vetor)
3. Produto vetorial $v \times u$:
   $v \times u = -(u \times v) = - \begin{bmatrix} -2 \ 0 \ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ 0 \ 2 \end{bmatrix}$. (Vetor)

Agora, avaliamos as alternativas:

(A) Incorreta: A expressão $A\, v^\top u\, A^\top (v \times u)$ resulta em $\begin{bmatrix} -512 \ -192 \ -256 \end{bmatrix}$, que não é o vetor alvo. A ordem das operações e a natureza dos termos (escalar, vetor, matriz) devem ser seguidas rigorosamente.
(B) Incorreta: A expressão $u^\top v\, (u \times v)^\top A$ resulta em um vetor linha $\begin{bmatrix} 64 & 128 & 64 \end{bmatrix}$, enquanto o vetor alvo é um vetor coluna.
(C) Incorreta: A expressão $A\, u^\top v\, A\, (u \times v)$ resulta em $\begin{bmatrix} 576 \ 128 \ 64 \end{bmatrix}$, que não é o vetor alvo. A multiplicação de matrizes não é comutativa, e a ordem das operações é crucial.
(D) Incorreta: A expressão $A\, u^\top v\, (u \times v)$ resulta em $\begin{bmatrix} 128 \ 96 \ 0 \end{bmatrix}$. Armadilha da banca: Este é o negativo do vetor alvo! É um distrator comum que testa a atenção aos sinais negativos nos cálculos do produto escalar ou vetorial, ou na multiplicação final.
(E) Correta: A expressão $A\, (v \times u)\, u^\top v$ pode ser reescrita como $(u^\top v) \cdot A \cdot (v \times u)$ devido à comutatividade da multiplicação por escalar.
Primeiro, calculamos $A \cdot (v \times u)$:
$A \begin{bmatrix} 2 \ 0 \ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \ 1 & 0 & 2 \ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \ 0 \ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(2) + (2)(0) + (1)(2) \ (1)(2) + (0)(0) + (2)(2) \ (-1)(2) + (2)(0) + (1)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 + 0 + 2 \ 2 + 0 + 4 \ -2 + 0 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \ 6 \ 0 \end{bmatrix}$.
Em seguida, multiplicamos este vetor pelo escalar $u^\top v = -16$:
$(-16) \cdot \begin{bmatrix} 8 \ 6 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -16 \times 8 \ -16 \times 6 \ -16 \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -128 \ -96 \ 0 \end{bmatrix}$.
Este resultado corresponde exatamente ao vetor alvo.