Questão de TI - Ciência de Dados · FGV EPE 2024 (nº 70)

A derivada de ordem n de uma função é o resultado de aplicar a operação de derivação (encontrar a taxa de mudança da função) n vezes consecutivas. Para funções como $e^x$ e $e^{-x}$, ou produtos como $xe^x$, procuramos um padrão nas primeiras derivadas para generalizar para a n-ésima derivada.

• (A) Correta: A função $f(x)$ é a soma de duas funções, $g(x) = e^{-x}$ e $h(x) = xe^x$. A derivada de ordem n de $g(x)$ é $g^{(n)}(x) = (-1)^n e^{-x}$. Como n é um número natural par, $(-1)^n = 1$, então $g^{(n)}(x) = e^{-x}$. Para $h(x) = xe^x$, as primeiras derivadas são $h'(x) = (x+1)e^x$, $h''(x) = (x+2)e^x$, $h'''(x) = (x+3)e^x$. Este padrão generaliza para $h^{(n)}(x) = (x+n)e^x$. Somando as derivadas de ordem n de $g(x)$ e $h(x)$, obtemos $f^{(n)}(x) = e^{-x} + (x+n)e^x$.
• (B) Incorreta: O termo $(x+n^2)e^x$ está incorreto. O padrão da derivada de $xe^x$ de ordem n é $(x+n)e^x$, não $(x+n^2)e^x$.
• (C) Incorreta: O termo $(x+2n)e^x$ está incorreto. O padrão da derivada de $xe^x$ de ordem n é $(x+n)e^x$, não $(x+2n)e^x$.
• (D) Incorreta: O termo $(x^n+n)e^x$ está incorreto. A derivada de $xe^x$ de ordem n mantém o $x$ linear, apenas somando a ordem da derivada, e não elevando $x$ à potência n.
• (E) Incorreta: O termo $e^{-nx}$ está incorreto. A derivada de ordem n de $e^{-x}$ é $(-1)^n e^{-x}$. Como n é par, isso resulta em $e^{-x}$. A armadilha aqui é confundir a derivada de $e^{-x}$ com a derivada de $e^{ax}$, onde a n-ésima derivada é $a^n e^{ax}$. Para $e^{-x}$, $a=-1$, então a n-ésima derivada é $(-1)^n e^{-x}$, e não $e^{-nx}$.