Questão de TI - Ciência de Dados · FGV EPE 2024 (nº 69)

Para resolver integrais como esta, usamos a técnica de substituição de variáveis (ou u-substituição), que simplifica a integral ao trocar uma parte complexa da expressão por uma nova variável, u, e seu diferencial, du. O objetivo é transformar a integral em uma forma mais simples de integrar.

• (A) Incorreta: O coeficiente $\frac{1}{54}$ está incorreto. Se derivarmos esta expressão, não obteremos a função original.
• (B) Correta: Para resolver $\int x^2(3+2x^3)^7\,dx$, fazemos a substituição $u = 3+2x^3$.
  Calculando o diferencial de $u$: $du = \frac{d}{dx}(3+2x^3)\,dx = (0 + 6x^2)\,dx = 6x^2\,dx$.
  Precisamos de $x^2\,dx$ na integral, então isolamos: $x^2\,dx = \frac{1}{6}\,du$.
  Substituindo na integral original: $\int (u)^7 \cdot \frac{1}{6}\,du = \frac{1}{6} \int u^7\,du$.
  Agora, integramos usando a regra da potência ($\int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$):
  $\frac{1}{6} \cdot \frac{u^{7+1}}{7+1} + C = \frac{1}{6} \cdot \frac{u^8}{8} + C = \frac{1}{48}u^8 + C$.
  Por fim, substituímos $u$ de volta por $3+2x^3$: $\frac{1}{48}(3+2x^3)^8 + C$.
• (C) Incorreta: Esta alternativa é um distrator tentador. O erro comum aqui é esquecer de dividir pelo fator constante que surge da derivada de u. Ao fazer $u = 3+2x^3$, temos $du = 6x^2\,dx$. Se o aluno ignorar o '6' e simplesmente substituir $x^2\,dx$ por $du$, a integral se tornaria $\int u^7\,du = \frac{u^8}{8} + C$, resultando em $\frac{1}{8}(3+2x^3)^8 + C$. A armadilha é não ajustar o diferencial $dx$ corretamente para $x^2\,dx = \frac{1}{6}\,du$.
• (D) Incorreta: O expoente $9 está incorreto. A regra da potência para integração aumenta o expoente em \1$, então$u^7$se torna$u^8$. O coeficiente$\frac{1}{48}$ está correto, mas o expoente não.
• (E) Incorreta: Tanto o coeficiente $\frac{1}{54}$ quanto o expoente $9$ estão incorretos.