Questão de TI - Ciência de Dados · FGV EPE 2024 (nº 68)

O limite de uma função nos diz para qual valor a função se aproxima quando a variável (n, neste caso) tende a um valor específico, como o infinito. Para limites no infinito de expressões com frações, olhamos para os termos de maior "potência" (grau) no numerador e no denominador.

(A) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se o numerador fosse $n$ e o denominador $\sqrt{2}n$, ou se houvesse uma inversão da fração final. O cálculo correto dos termos dominantes não leva a $1/\sqrt{2}$.
(B) Incorreta: Esta alternativa seria o resultado se o termo dominante no denominador fosse apenas $n$, ignorando o fator $\sqrt{2}$ que vem da raiz quadrada de $2n^2$.
(C) Correta: Para calcular $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{2n+3}{(2n^2-6)^{0,5}}$, primeiro identificamos os termos dominantes (os que crescem mais rápido) no numerador e no denominador quando $n$ é muito grande.
No numerador, $2n+3, o termo dominante é \2n$. No denominador,$(2n^2-6)^{0,5}$é o mesmo que$\sqrt{2n^2-6}$. Quando$n \to \infty$, o$-6$se torna insignificante comparado a$2n^2$. Assim, o termo dominante dentro da raiz é$2n^2$. Portanto, o denominador se comporta como$\sqrt{2n^2}$. Simplificando$\sqrt{2n^2}$:$\sqrt{2n^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{n^2} = \sqrt{2} \cdot n$(já que$n \to \infty$,$n$é positivo). Agora, reescrevemos o limite usando apenas os termos dominantes:$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{2n}{\sqrt{2}n}$Podemos cancelar$n$no numerador e no denominador:$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{2}}$Como$\frac{2}{\sqrt{2}}$é uma constante, o limite é$\frac{2}{\sqrt{2}}$. Para simplificar ainda mais, racionalizamos o denominador:$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. E$\sqrt{2}$pode ser escrito como$2^{0,5}. **(D) Incorreta:** Esta alternativa representa 0,5 ou \1/2$. Não há um caminho direto para obter este valor a partir do limite dado. **(E) Incorreta:** O limite seria zero se o grau (a maior potência de$n$) do numerador fosse menor que o grau do denominador. A armadilha aqui é que alguns alunos podem ver$n^2 no denominador e pensar que o grau é 2, enquanto o grau do numerador é 1. No entanto, o denominador está elevado a \0,5$(raiz quadrada), o que significa que o grau efetivo do denominador é$2 \times 0,5 = 1$. Como os graus são iguais (ambos 1), o limite não é zero, mas sim a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.