Questão de Engenharia de Agrimensura · FGV DPGE-RJ 2014 (nº 44)

A Lei dos Senos é uma regra fundamental da trigonometria que nos permite calcular lados ou ângulos desconhecidos de um triângulo quando conhecemos um lado e seus dois ângulos adjacentes, ou dois lados e um ângulo. Ela afirma que a razão entre o comprimento de um lado e o seno do ângulo oposto a ele é constante para todos os lados de um triângulo.

(A) Incorreta: Embora a formulação seja matematicamente correta, esta alternativa é idêntica à alternativa E, e o gabarito oficial indica E como a resposta correta.
(B) Incorreta: As fórmulas estão incorretas pois os ângulos no numerador foram trocados em relação aos lados correspondentes, e o denominador para AC e BC deveria ser o seno do ângulo oposto ao lado conhecido AB (ou seja, ACB).
(C) Incorreta: As fórmulas estão incorretas; além da troca dos ângulos no numerador, o denominador utiliza $\sin(BAC)$ e $\sin(ABC)$ respectivamente, em vez de $\sin(ACB)$, que é o ângulo oposto ao lado conhecido AB.
(D) Incorreta: As fórmulas estão incorretas. Para o lado AC, o ângulo oposto é ABC, e para o lado BC, o ângulo oposto é BAC. Esta alternativa inverte esses ângulos no numerador. A armadilha da banca aqui é a troca dos ângulos no numerador: para AC, o ângulo oposto é ABC; para BC, o ângulo oposto é BAC. A alternativa D inverte essas relações, um erro comum ao aplicar a Lei dos Senos.
(E) Correta: Esta alternativa apresenta as duas fórmulas corretas para o cálculo dos lados AC e BC, respectivamente, utilizando a Lei dos Senos. Para encontrar o lado AC, usa-se o lado conhecido AB multiplicado pelo seno do ângulo oposto a AC (que é ABC) e dividido pelo seno do ângulo oposto a AB (que é ACB). Da mesma forma, para o lado BC, usa-se AB multiplicado pelo seno do ângulo oposto a BC (que é BAC) e dividido pelo seno do ângulo oposto a AB (que é ACB). O ângulo ACB é obtido por $180^\circ - BAC - ABC$.