Questão de Raciocínio Lógico · FGV DNIT 2024 (nº 16)

Para resolver equações com números inteiros, o conceito-chave é fatorar a expressão para transformar a equação em um produto de fatores igual a um número. Em seguida, listamos os divisores desse número e testamos as combinações, sempre verificando as condições dadas para as variáveis (neste caso, $x$ e $y$ devem ser inteiros positivos).

A equação dada é $xy - y^2 + 24 = 0$.

1. Fatorar a expressão: Podemos colocar $y$ em evidência nos dois primeiros termos:
   $y(x - y) + 24 = 0$
   y(x - y) = -24\

2. Analisar as condições:

   • Sabemos que $x$ e $y$ são inteiros positivos. Isso significa $y > 0$.
   • Como $y > 0$ e $y(x-y) = -24$ (um número negativo), então $(x-y)$ deve ser um número inteiro negativo.
   • Além disso, $y$ e $(x-y)$ devem ser fatores de -24.

3. Encontrar os fatores:
   Seja $y$ um divisor positivo de 24. Os divisores positivos de 24 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
   Seja $x-y = -k$, onde $k$ é um divisor positivo de 24.
   Então, a equação se torna $y(-k) = -24$, o que implica $yk = 24$.
   Também temos $x = y - k$.

4. Aplicar a condição de $x$ ser positivo:
   Como $x > 0$, temos $y - k > 0$, o que significa $y > k$.
   Precisamos encontrar pares de fatores $(y, k)$ de 24 tais que $y \cdot k = 24$ e $y > k$.

   Vamos listar os pares $(y, k)$ cujo produto é 24 e verificar a condição $y > k$:

   • Se $k=1$, $y=24$. $y > k$ (24 > 1) é verdadeiro.
     $x = y - k = 24 - 1 = 23$. (Válido)
   • Se $k=2$, $y=12$. $y > k$ (12 > 2) é verdadeiro.
     $x = y - k = 12 - 2 = 10$. (Válido)
   • Se $k=3$, $y=8$. $y > k$ (8 > 3) é verdadeiro.
     $x = y - k = 8 - 3 = 5$. (Válido)
   • Se $k=4$, $y=6$. $y > k$ (6 > 4) é verdadeiro.
     $x = y - k = 6 - 4 = 2$. (Válido)
   • Se $k=6$, $y=4$. $y > k$ (4 > 6) é falso.
     $x = y - k = 4 - 6 = -2$. (Não é positivo, inválido)
   • Se $k=8$, $y=3$. $y > k$ (3 > 8) é falso.
     $x = y - k = 3 - 8 = -5$. (Não é positivo, inválido)
   • Se $k=12$, $y=2$. $y > k$ (2 > 12) é falso.
     $x = y - k = 2 - 12 = -10$. (Não é positivo, inválido)
   • Se $k=24$, $y=1$. $y > k$ (1 > 24) é falso.
     $x = y - k = 1 - 24 = -23$. (Não é positivo, inválido)

5. Calcular a soma dos possíveis valores de $x$:
   Os valores possíveis de $x$ são 23, 10, 5 e 2.
   A soma é $23 + 10 + 5 + 2 = 40$.

Comentário das alternativas:

• (A) Incorreta: Esta alternativa é um distrator comum. Pode ser obtida se um dos valores de $x$ for calculado incorretamente. Por exemplo, se o valor $x=2$ (obtido de $y=6, k=4$) fosse erroneamente calculado como $x=y+k=6+4=10$, a soma seria $10+5+10+23 = 48$.
• (B) Correta: A soma dos possíveis valores de $x$ é 40, conforme demonstrado ao fatorar a equação e aplicar corretamente as condições de que $x$ e $y$ são inteiros positivos.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao resultado correto nem a um erro comum de cálculo.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao resultado correto nem a um erro comum de cálculo.
• (E) Incorreta: Não corresponde ao resultado correto nem a um erro comum de cálculo.