Questão de Economia · FGV DATAPREV 2024 (nº 66)

O conceito-chave é a equivalência financeira entre as opções de pagamento: o valor à vista com desconto deve ser igual ao valor presente das parcelas, descontadas pela taxa de juros compostos embutida. O valor presente é o valor de um pagamento futuro trazido para a data de hoje, usando uma taxa de juros.

Seja $P_0$ o preço de tabela do produto.

1. Preço à vista ($P_v$): Com 10% de desconto, o preço à vista é $P_v = P_0 - 0.10 P_0 = 0.90 P_0$. Este é o valor presente do produto.
2. Prestações parceladas: "sem desconto, em duas prestações mensais iguais". Isso significa que o valor total nominal pago nas parcelas é $P_0$. Portanto, cada prestação ($PMT$) é $P_0 / 2$.
   As prestações são pagas em $t=1$ (30 dias após a compra) e $t=2$ (60 dias após a compra).
3. Equivalência de valor presente: O valor presente das prestações deve ser igual ao preço à vista.
   $P_v = \frac{PMT}{(1+i)^1} + \frac{PMT}{(1+i)^2}$
   Substituindo $P_v = 0.90 P_0$ e $PMT = P_0/2$:
   $0.90 P_0 = \frac{P_0/2}{(1+i)} + \frac{P_0/2}{(1+i)^2}$
   Dividindo toda a equação por $P_0$:
   $0.90 = \frac{1/2}{(1+i)} + \frac{1/2}{(1+i)^2}$
   Multiplicando por 2:
   1.80 = \frac{1}{(1+i)} + \frac{1}{(1+i)^2}\
4. Resolvendo a equação: Seja $x = \frac{1}{1+i}$. A equação se torna:
   $1.80 = x + x^2$
   Rearranjando para a forma de uma equação quadrática:
   $x^2 + x - 1.80 = 0$
   Para usar a aproximação dada, multiplicamos por 100 e depois dividimos por 20:
   $100x^2 + 100x - 180 = 0 \implies 5x^2 + 5x - 9 = 0$
   Usando a fórmula de Bhaskara ($x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$):
   $x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-9)}}{2 \cdot 5}$
   $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 180}}{10}$
   x = \frac{-5 \pm \sqrt{205}}{10}\
5. Aplicando a aproximação: Usando $\sqrt{205} \approx 14.318$:
   $x = \frac{-5 \pm 14.318}{10}$
   Como $x = \frac{1}{1+i}$ e a taxa de juros $i$ é positiva, $x$ deve ser positivo.
   x = \frac{-5 + 14.318}{10} = \frac{9.318}{10} = 0.9318\
6. Calculando a taxa de juros ($i$):
   $x = \frac{1}{1+i} \implies 1+i = \frac{1}{x}$
   $1+i = \frac{1}{0.9318} \approx 1.07319$
   $i \approx 1.07319 - 1 = 0.07319$
   Convertendo para porcentagem, $i \approx 7.319\%$.

(A) Incorreta: A taxa calculada é de aproximadamente 7.32%, que não é 5%.
(B) Incorreta: A taxa calculada é de aproximadamente 7.32%, que não é 6%.
(C) Correta: A taxa mensal de juros compostos embutidos é de aproximadamente 7.32%, que é mais próxima de 7% entre as alternativas.
(D) Incorreta: A taxa calculada é de aproximadamente 7.32%, que não é 8%.
(E) Incorreta: A taxa calculada é de aproximadamente 7.32%, que não é 9%. A armadilha mais comum seria interpretar "sem desconto" como o preço à vista (0.90 $P_0$) sendo o valor financiado, ou o total das parcelas ser 0.90 $P_0$, o que levaria a um cálculo de juros incorreto ou até nulo. A interpretação correta é que o valor nominal total das parcelas é o preço de tabela $P_0$.