Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 58)

A covariância entre estimadores nos mostra como as estimativas de dois parâmetros (aqui, o intercepto $\beta_0$ e a inclinação $\beta_1$) tendem a variar juntas: se uma aumenta, a outra tende a aumentar (covariância positiva) ou diminuir (covariância negativa). Para o modelo de regressão linear simples, essa covariância é calculada usando os valores da variável explicativa ($x$) e a variância do termo de erro ($\sigma^2$), que deve ser estimada de forma não viciada (sem viés).

Cálculos:

1. Dados fornecidos:

   • Número de observações ($n$) = 3
   • Valores de $x$: $x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 2$
   • Soma de $x$: $\sum x_i = 1 + 2 + 2 = 5$
   • Soma dos quadrados de $x$: $\sum x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9$
   • Resíduos ($e$): $e_1 = 2, e_2 = 1, e_3 = 1$
   • Soma dos quadrados dos resíduos: \sum e_i^2 = 2^2 + 1^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6\

2. Estimativa não viciada da variância do erro ($\sigma^2$):
   A estimativa não viciada da variância do erro é $s^2 = \frac{\sum e_i^2}{n - k}$, onde $k$ é o número de parâmetros estimados (neste caso, $\beta_0$ e $\beta_1$, então $k=2$).
   $s^2 = \frac{6}{3 - 2} = \frac{6}{1} = 6$.

3. Fórmula para a covariância entre $\hat{\beta_0}$ e $\hat{\beta_1}$:
   A covariância entre os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para $\beta_0$ e $\beta_1$ é dada por:
   Cov(\hat{\beta_0}, \hat{\beta_1}) = s^2 \frac{-\sum x_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}\

4. Cálculo do denominador da fórmula:
   $n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2 = 3 \times 9 - (5)^2 = 27 - 25 = 2$.

5. Cálculo da covariância:
   $Cov(\hat{\beta_0}, \hat{\beta_1}) = 6 \times \frac{-5}{2} = 6 \times (-2.5) = -15$.

• (A) Incorreta: O valor de -4 não corresponde a nenhum erro de cálculo comum na fórmula.
• (B) Incorreta: Esta é a principal armadilha da banca. Se, por engano, fosse utilizada a estimativa viciada da variância do erro ($s^2 = \frac{\sum e_i^2}{n}$ em vez de $\frac{\sum e_i^2}{n-k}$), teríamos $s^2 = \frac{6}{3} = 2$. Nesse caso, a covariância seria $2 \times \frac{-5}{2} = -5$. A questão pede explicitamente a estimativa baseada no estimador não viciado, o que exige o uso de $n-k$ no denominador.
• (C) Incorreta: O valor de -10 não é obtido com os cálculos corretos ou com os erros mais comuns.
• (D) Correta: Conforme os cálculos detalhados acima, utilizando a estimativa não viciada da variância do erro ($s^2=6$) e a fórmula correta para a covariância, o resultado é -15.
• (E) Incorreta: O valor de -20 não é obtido com os cálculos corretos ou com os erros mais comuns.