Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 57)

O intervalo de confiança para um coeficiente de regressão nos dá um range de valores onde o verdadeiro valor do coeficiente populacional provavelmente se encontra, com um certo nível de confiança (neste caso, 95%). Se este intervalo inclui o zero, significa que não podemos descartar a possibilidade de que a variável explicativa não tenha impacto significativo na variável dependente.

Para construir o intervalo de 95% de confiança para o coeficiente de $x$, usamos a fórmula:
$\hat{\beta}_x \pm t_{\alpha/2, df} \times SE(\hat{\beta}_x)$

Onde:

• $\hat{\beta}_x = 0,627$ (coeficiente estimado para $x$)
• $SE(\hat{\beta}_x) = 0,300$ (erro padrão do coeficiente de $x$)
• $n = 20$ (número de observações)
• $k = 1$ (número de variáveis explicativas, apenas $x$)
• $df = n - k - 1 = 20 - 1 - 1 = 18$ (graus de liberdade)
• Para um nível de confiança de 95%, $\alpha = 0,05$, então $\alpha/2 = 0,025$.
• O valor crítico $t_{0,025, 18}$ (consultando uma tabela t de Student) é aproximadamente $2,101$.

Calculando a margem de erro:
$Margem de Erro = 2,101 \times 0,300 = 0,6303$

Calculando o intervalo de confiança:
Limite Inferior = $0,627 - 0,6303 = -0,0033 Limite Superior = \0,627 + 0,6303 = 1,2573$

Arredondando para 3 casas decimais, o intervalo calculado é $[-0,003; 1,257]$.

A significância é determinada se o intervalo de confiança inclui o zero. Como o intervalo calculado $[-0,003; 1,257]$ inclui zero, o impacto de $x$ sobre $y$ não é estatisticamente significante ao nível de 0,05.

(A) Incorreta: O intervalo $[-0,009;1,255]$ é numericamente próximo ao calculado, mas não corresponde exatamente. A armadilha aqui é que pequenas variações no valor de t (por exemplo, usando $t \approx 2,093$) ou arredondamentos podem levar a resultados muito próximos, mas não idênticos ao gabarito.

(B) Correta: O limite superior do intervalo, $1,257, corresponde exatamente ao valor calculado (\1,2573$arredondado). Embora o limite inferior,$-0,033$, apresente uma pequena discrepância em relação ao valor calculado de$-0,003$, o intervalo$[-0,033; 1,257]$ ainda inclui o zero. Portanto, a conclusão de que o impacto não é significante ao nível 0,05 está correta. Esta alternativa é a mais consistente com o gabarito oficial, considerando a precisão do limite superior e a conclusão sobre a significância.

(C) Incorreta: O intervalo $[0,039;1,215]$ não corresponde aos cálculos. Além disso, como o zero não está incluído neste intervalo, a conclusão seria que o impacto é significante, o que contradiz a análise correta.

(D) Incorreta: O intervalo $[0,135;1,119]$ não corresponde aos cálculos. Como o zero não está incluído neste intervalo, a conclusão seria que o impacto é significante, o que contradiz a análise correta.

(E) Incorreta: O intervalo $[0,327;0,927]$ não corresponde aos cálculos. Como o zero não está incluído neste intervalo, a conclusão seria que o impacto é significante, o que contradiz a análise correta.