Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 55)

O teste de hipóteses nos permite usar dados de uma amostra para decidir se há evidências suficientes para sustentar uma afirmação sobre uma população. Quando a amostra é pequena (n < 30), o desvio padrão da população é desconhecido e os dados seguem uma distribuição Normal, usamos a distribuição t de Student para calcular a estatística de teste e os valores críticos.

Primeiro, definimos as hipóteses:

• $H_0: \mu \le 15\%$ (A valorização média não é superior a 15%)
• $H_1: \mu > 15\%$ (A valorização média é superior a 15%) - Este é um teste unilateral à direita.

Dados fornecidos:

• Média amostral ($\bar{x}$): 15,85% = 0,1585
• Média hipotética ($\mu_0$): 15% = 0,15
• Desvio padrão amostral ($s$): 2% = 0,02
• Tamanho da amostra ($n$): 16
• Graus de liberdade ($df$): $n - 1 = 16 - 1 = 15$

Calculamos a estatística de teste t:
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{0,1585 - 0,15}{0,02 / \sqrt{16}} = \frac{0,0085}{0,02 / 4} = \frac{0,0085}{0,005} = 1,7$

Agora, comparamos o valor de $t = 1,7$ com os valores críticos da distribuição t de Student para $df = 15$ em um teste unilateral à direita:

• Para $\alpha = 0,1$: $t_{crítico} = 1,341$
• Para $\alpha = 0,05$: $t_{crítico} = 1,753$
• Para $\alpha = 0,01$: $t_{crítico} = 2,602$

Regra de decisão: Se $t_{calculado} > t_{crítico}$, rejeitamos $H_0$.

• Nível de significância $\alpha = 0,1$: $1,7 > 1,341$. Rejeitamos$H_0$. Há evidência.
• Nível de significância $\alpha = 0,05$: $1,7 < 1,753$. Não rejeitamos$H_0$. Não há evidência.
• Nível de significância $\alpha = 0,01$: $1,7 < 2,602$. Não rejeitamos$H_0$. Não há evidência.

Portanto, a conjectura foi evidenciada apenas ao nível de significância de 0,1.

(A) Incorreta: Os valores críticos 1,64 e 1,28 são aproximados para a distribuição Normal (Z) ou para t com muitos graus de liberdade, não para $df=15$. Além disso, a conclusão de ser evidenciada ao nível 0,05 está errada.
(B) Incorreta: Os valores críticos 1,96 e 1,64 são para a distribuição Normal (Z) ou para t com muitos graus de liberdade, não para $df=15$. O valor 1,96 é tipicamente para um teste bilateral com $\alpha=0,05$.
(C) Incorreta: Esta alternativa é uma armadilha da banca. Embora a conclusão ("foi evidenciada apenas ao nível 0,1") esteja correta, os valores críticos 1,64 e 1,28 são tipicamente associados à distribuição Normal (Z) para testes unilaterais (1,64 para $\alpha=0,05$ e 1,28 para $\alpha=0,1$). O erro está em usar valores da distribuição Z quando o problema claramente indica o uso da distribuição t de Student (pequena amostra, desvio padrão populacional desconhecido).
(D) Correta: A conclusão de que a conjectura foi evidenciada apenas ao nível 0,1 está correta. Os valores críticos 1,753 (para $\alpha=0,05$, $df=15$) e 1,341 (para $\alpha=0,1$, $df=15$) são os valores corretos da distribuição t de Student para um teste unilateral à direita com 15 graus de liberdade. Como $t_{calculado} = 1,7$, ele é maior que 1,341 (rejeita $H_0$ a 0,1) mas menor que 1,753 (não rejeita $H_0$ a 0,05).
(E) Incorreta: A conclusão de que não foi evidenciada a nenhum dos três níveis está errada, pois foi evidenciada ao nível 0,1. Além disso, os valores críticos 2,947 e 2,131 não correspondem aos níveis 0,01 e 0,05 para um teste unilateral com $df=15$. (Esses valores seriam para um teste bilateral com $df=15$ e $\alpha=0,01$ e $\alpha=0,05$ respectivamente).