Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 53)

A Estimativa de Máxima Verossimilhança (EMV) é um método para encontrar os valores dos parâmetros de um modelo estatístico que tornam os dados observados mais prováveis de ocorrer. Basicamente, procuramos o parâmetro que "melhor explica" os dados.

(A) Incorreta: Este valor não é obtido por nenhum cálculo direto ou comum de EMV para esta distribuição.
(B) Incorreta: Este valor não é obtido por nenhum cálculo direto ou comum de EMV para esta distribuição.
(C) Incorreta: Este valor não é obtido por nenhum cálculo direto ou comum de EMV para esta distribuição.
(D) Correta: Para encontrar a Estimativa de Máxima Verossimilhança (EMV) de $\theta$, primeiro escrevemos a função de verossimilhança para uma amostra aleatória simples $X_1, \dots, X_n$:
$L(\theta | x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i) = \prod_{i=1}^n (\theta^2 x_i e^{-\theta x_i}) = \theta^{2n} (\prod_{i=1}^n x_i) e^{-\theta \sum_{i=1}^n x_i}$.
Em seguida, tomamos o logaritmo da função de verossimilhança (log-verossimilhança) para simplificar os cálculos:
$l(\theta) = \ln L(\theta) = 2n \ln \theta + \sum_{i=1}^n \ln x_i - \theta \sum_{i=1}^n x_i$.
Para maximizar $l(\theta)$, derivamos em relação a $\theta$ e igualamos a zero:
$\frac{dl}{d\theta} = \frac{2n}{\theta} - \sum_{i=1}^n x_i = 0$.
Resolvendo para $\theta$:
$\frac{2n}{\theta} = \sum_{i=1}^n x_i \implies \hat{\theta}_{MLE} = \frac{2n}{\sum_{i=1}^n x_i}$.
Sabendo que a média amostral é $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$, podemos reescrever $\sum_{i=1}^n x_i = n \bar{X}$.
Substituindo na expressão de $\hat{\theta}_{MLE}$:
$\hat{\theta}_{MLE} = \frac{2n}{n \bar{X}} = \frac{2}{\bar{X}}$.
Dado que o tempo médio registrado (média amostral) foi de $\bar{X} = 400$ dias, a estimativa é:
$\hat{\theta}_{MLE} = \frac{2}{400} = \frac{1}{200}$.
(E) Incorreta: Esta seria a estimativa se a média da distribuição fosse $E[X] = 1/\theta$. No entanto, a função de densidade $f(x) = \theta^2 x e^{-\theta x}$ corresponde a uma distribuição Gamma com parâmetros de forma $\alpha=2$ e taxa $\theta$. A média de uma distribuição Gamma com esses parâmetros é $E[X] = \alpha/\theta = 2/\theta$. A armadilha da banca aqui é induzir o aluno a pensar que a distribuição é exponencial (cuja média é $1/\theta$) ou a usar a fórmula errada para a média desta distribuição específica.