Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 52)

O Método dos Momentos é uma técnica para estimar parâmetros desconhecidos de uma distribuição de probabilidade. Ele funciona igualando os momentos teóricos (como a média, que é o primeiro momento) da distribuição aos momentos correspondentes calculados a partir da amostra de dados observados.

• (A) Incorreta: Esta alternativa resultaria de um erro de cálculo na resolução da equação para $\theta$.
• (B) Correta: Para estimar $\theta$ pelo método dos momentos, primeiro calculamos o primeiro momento teórico, $E[X]$, da distribuição.
  $E[X] = \int_{0}^{1} x \cdot f(x) dx = \int_{0}^{1} x \cdot (\theta+1)x^{\theta} dx = (\theta+1) \int_{0}^{1} x^{\theta+1} dx$.
  Assumindo $\theta > -1$ para que a PDF seja válida e a integral convergente, temos:
  $E[X] = (\theta+1) \left[ \frac{x^{\theta+2}}{\theta+2} \right]_{0}^{1} = (\theta+1) \left( \frac{1^{\theta+2}}{\theta+2} - \frac{0^{\theta+2}}{\theta+2} \right) = \frac{\theta+1}{\theta+2}$.
  Em seguida, calculamos o primeiro momento amostral, que é a média da amostra:
  $\bar{X} = \frac{0.3 + 0.2 + 0.6 + 0.7 + 0.2}{5} = \frac{2.0}{5} = 0.4$.
  Finalmente, igualamos o momento teórico ao momento amostral e resolvemos para $\theta$:
  $\frac{\theta+1}{\theta+2} = 0.4$
  $\theta+1 = 0.4(\theta+2)$
  $\theta+1 = 0.4\theta + 0.8$
  $\theta - 0.4\theta = 0.8 - 1$
  $0.6\theta = -0.2$
  $\theta = \frac{-0.2}{0.6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.
• (C) Incorreta: Esta alternativa poderia ser obtida por um erro de sinal durante a resolução da equação ou na manipulação algébrica.
• (D) Incorreta: Esta é a média amostral ($\bar{X} = 0.4 = 2/5$). A armadilha da banca aqui é que o aluno pode calcular corretamente a média amostral, mas esquecer que ela é apenas um passo intermediário e não a estimativa final do parâmetro $\theta$. É preciso igualar a média amostral ao momento teórico e resolver para $\theta$.
• (E) Incorreta: Esta alternativa resultaria de um erro de cálculo na resolução da equação para $\theta$.