Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 51)

A distribuição de Poisson é um modelo de probabilidade que descreve o número de vezes que um evento ocorre em um intervalo fixo de tempo ou espaço, dado que esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e constante.

• Cálculo da taxa ($\lambda$): A agência recebe 1 denúncia a cada 15 minutos. Em 1 hora (60 minutos), a taxa média ($\lambda$) será de $(60/15) \times 1 = 4$ denúncias.
• Fórmula da Poisson: $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$, onde $X$ é o número de denúncias e $k$ é um valor específico.
• Probabilidades para $\lambda=4$:
  • $P(X=0) = \frac{e^{-4} 4^0}{0!} = e^{-4}$
  • $P(X=1) = \frac{e^{-4} 4^1}{1!} = 4e^{-4}$
• Probabilidade Condicional: Queremos $P(X \ge 2 \mid X \ge 1)$. Isso significa a probabilidade de ter pelo menos 2 denúncias, dado que já se sabe que pelo menos 1 denúncia chegou.
  • A fórmula é $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
  • Aqui, $A = (X \ge 2)$ e $B = (X \ge 1)$. Se $X \ge 2$, então $X \ge 1$ é automaticamente verdadeiro, então $A \cap B = A$.
  • Assim, $P(X \ge 2 \mid X \ge 1) = \frac{P(X \ge 2)}{P(X \ge 1)}$.
• Cálculo de $P(X \ge 1)$ e $P(X \ge 2)$:
  • $P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - e^{-4}$.
  • $P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - e^{-4} - 4e^{-4} = 1 - 5e^{-4}$.
• Substituição: $P(X \ge 2 \mid X \ge 1) = \frac{1 - 5e^{-4}}{1 - e^{-4}}$.
• Aproximação: Para chegar a uma das alternativas fracionárias, o problema utiliza a aproximação $e^{-4} \approx 0.018$.
  • $P(X \ge 1) \approx 1 - 0.018 = 0.982$.
  • $P(X \ge 2) \approx 1 - 5 \times 0.018 = 1 - 0.090 = 0.910$.
  • $P(X \ge 2 \mid X \ge 1) \approx \frac{0.910}{0.982} = \frac{910}{982}$.
  • Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 2): $\frac{455}{491}$.

(A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo da probabilidade condicional usando a distribuição de Poisson com a taxa e a aproximação corretas.
(B) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo da probabilidade condicional usando a distribuição de Poisson com a taxa e a aproximação corretas.
(C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo da probabilidade condicional usando a distribuição de Poisson com a taxa e a aproximação corretas.
(D) Incorreta: Esta alternativa é um distrator comum. Se você calculasse $P(X \ge 2) = 0.910$ e parasse por aí, ou se confundisse com $P(X \ge 2 \mid X \ge 1)$ e $P(X \ge 2)$, cairia nesta armadilha. A condição "sabendo-se que pelo menos uma denúncia terá chegado" é crucial e exige o uso da probabilidade condicional, dividindo por $P(X \ge 1)$.
(E) Correta: O cálculo da probabilidade condicional $P(X \ge 2 \mid X \ge 1) = \frac{1 - 5e^{-4}}{1 - e^{-4}}$, utilizando a aproximação $e^{-4} \approx 0.018$, resulta em $\frac{0.910}{0.982} = \frac{910}{982} = \frac{455}{491}$.