Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 50)

O tempo mediano em uma distribuição de probabilidade contínua é o valor que divide a distribuição em duas metades iguais, ou seja, 50% dos eventos ocorrem antes desse tempo e 50% ocorrem depois. Para encontrar a mediana, calculamos o ponto $M$ onde a probabilidade acumulada é 0,5.

• (A) Incorreta: Este valor não corresponde à mediana calculada a partir da função de densidade de probabilidade fornecida.
• (B) Incorreta: Este valor não corresponde à mediana calculada.
• (C) Correta: Para uma distribuição exponencial com função de densidade $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$, a probabilidade acumulada (CDF) é $F(t) = 1 - e^{-\lambda t}$. A mediana $M$ é encontrada resolvendo $F(M) = 0,5$. Assim, $1 - e^{-0,05M} = 0,5 \Rightarrow e^{-0,05M} = 0,5$. Aplicando o logaritmo natural, $-0,05M = \ln(0,5) \Rightarrow -0,05M = -\ln(2) \Rightarrow M = \frac{\ln(2)}{0,05}$. Como $\ln(2) \approx 0,693$, temos $M \approx \frac{0,693}{0,05} \approx 13,86$ meses, que arredondado é 14 meses.
• (D) Incorreta: Este valor não corresponde à mediana calculada.
• (E) Incorreta: Este valor (20 meses) representa a média (ou esperança) do tempo de resgate para uma distribuição exponencial, que é $E[T] = 1/\lambda = 1/0,05 = 20$ meses. A pegadinha da banca está em confundir mediana com média; para distribuições exponenciais, a média é sempre maior que a mediana devido à assimetria da distribuição.