Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 49)

A distribuição binomial é usada para calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em uma série de tentativas independentes, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou falha) e a probabilidade de sucesso é constante. O valor esperado é a média do número de ocorrências que esperamos em um grande número de repetições do experimento.

Para resolver a questão, primeiro calculamos a probabilidade de um único candidato ser aprovado, e depois multiplicamos essa probabilidade pelo número total de candidatos para encontrar o valor esperado de aprovados.

1. Parâmetros da Distribuição Binomial para um candidato:

   • Número de questões ($n$): 6
   • Probabilidade de acerto por questão ($p$): 1 alternativa correta em 4, então $p = 1/4 = 0.25$.
   • Probabilidade de erro por questão ($1-p): \3/4 = 0.75$.

2. Condição para aprovação: Acertar "pelo menos 4 questões", ou seja, 4, 5 ou 6 questões.
   Calculamos a probabilidade de acertar $k$ questões usando a fórmula $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$:

   • Probabilidade de acertar 4 questões ($P(X=4)$):
     $P(X=4) = \binom{6}{4} (0.25)^4 (0.75)^2 = 15 \times (1/256) \times (9/16) = 135/4096$.
   • Probabilidade de acertar 5 questões ($P(X=5)$):
     $P(X=5) = \binom{6}{5} (0.25)^5 (0.75)^1 = 6 \times (1/1024) \times (3/4) = 18/4096$.
   • Probabilidade de acertar 6 questões ($P(X=6)$):
     $P(X=6) = \binom{6}{6} (0.25)^6 (0.75)^0 = 1 \times (1/4096) \times 1 = 1/4096$.

3. Probabilidade de um candidato ser aprovado ($P(\text{aprovado})$):
   Somamos as probabilidades calculadas:
   $P(\text{aprovado}) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = (135 + 18 + 1) / 4096 = 154 / 4096$.
   Simplificando a fração, dividindo numerador e denominador por 2: $154/4096 = 77/2048$.

4. Valor esperado do número de aprovados:
   Multiplicamos a probabilidade de um candidato ser aprovado pelo número total de candidatos:
   Valor Esperado $= \text{Número total de candidatos} \times P(\text{aprovado})$
   Valor Esperado $= 2048 \times (77/2048) = 77$.

(A) Correta: O valor esperado do número de aprovados é 77, conforme os cálculos da distribuição binomial para a probabilidade de acerto de pelo menos 4 questões e sua multiplicação pelo número total de candidatos.
(B) Incorreta: Esta alternativa pode ser um distrator para quem cometeu um erro aritmético na soma das probabilidades, por exemplo, se a soma dos numeradores fosse 170 em vez de 154 (o que levaria a $2048 \times (170/4096) = 85$). A armadilha aqui é uma possível falha na precisão dos cálculos de cada termo ou na soma final.
(C) Incorreta: Não há um erro comum que leve diretamente a este valor.
(D) Incorreta: Não há um erro comum que leve diretamente a este valor.
(E) Incorreta: Esta alternativa pode ser um distrator se o candidato confundir a probabilidade de acerto de uma questão ($1/4) ou de duas questões (\1/16) com a probabilidade total de aprovação, ou se fizer uma simplificação incorreta. Por exemplo, \2048 / 16 = 128$.