Questão de Estatística · FGV CVM 2024 (nº 48)

O Teorema de Bayes nos permite calcular a probabilidade condicional de um evento (aqui, a faixa do indicador X) ocorrer, dado que outro evento (aqui, a inadimplência do título) já aconteceu. Ele nos ajuda a "atualizar" nossas crenças sobre as causas de um evento observado.

Para resolver, vamos definir os eventos e probabilidades:

• $I$: O título se tornou inadimplente.
• $X_1$: O indicador $X < 4$.
• $X_2$: O indicador $4 \le X \le 7$.
• $X_3$: O indicador $X > 7$.

As probabilidades condicionais de inadimplência dadas as faixas de X são:

• $P(I | X_1) = 0.2$
• $P(I | X_2) = 0.4$
• $P(I | X_3) = 0.6$

O indicador $X$ segue uma Distribuição Normal com média ($\mu$) 6 e variância ($\sigma^2$) 4, o que significa um desvio padrão ($\sigma$) de $\sqrt{4} = 2$.

Primeiro, calculamos as probabilidades de $X$ estar em cada faixa ($P(X_1)$, $P(X_2)$, $P(X_3)$) usando a distribuição Normal. Para isso, padronizamos os valores de $X$ para Z-scores: $Z = (X - \mu) / \sigma$.

1. Para $X < 4$ ($X_1$):
   $Z = (4 - 6) / 2 = -1$.
   $P(X < 4) = P(Z < -1)$. Usando uma tabela Z padrão (ou calculadora), $P(Z < -1) \approx 0.1587$. Para que o resultado seja uma fração exata das alternativas, a questão utiliza um valor arredondado: $P(Z < -1) \approx 0.16$.

2. Para $4 \le X \le 7$ ($X_2$):
   $Z_1 = (4 - 6) / 2 = -1$.
   $Z_2 = (7 - 6) / 2 = 0.5$.
   $P(4 \le X \le 7) = P(-1 \le Z \le 0.5) = P(Z \le 0.5) - P(Z \le -1)$.
   Usando uma tabela Z padrão, $P(Z \le 0.5) \approx 0.6915$. A questão utiliza um valor arredondado: $P(Z \le 0.5) \approx 0.69$.
   Então, $P(X_2) \approx 0.69 - 0.16 = 0.53$.

3. Para $X > 7$ ($X_3$):
   $Z = (7 - 6) / 2 = 0.5$.
   $P(X > 7) = P(Z > 0.5) = 1 - P(Z \le 0.5) \approx 1 - 0.69 = 0.31$.

Verificando a soma das probabilidades: $0.16 + 0.53 + 0.31 = 1.00$.

Agora, calculamos a probabilidade total de inadimplência ($P(I)$) usando a Lei da Probabilidade Total:
$P(I) = P(I | X_1)P(X_1) + P(I | X_2)P(X_2) + P(I | X_3)P(X_3)$
$P(I) = (0.2)(0.16) + (0.4)(0.53) + (0.6)(0.31)$
$P(I) = 0.032 + 0.212 + 0.186 = 0.430$

Finalmente, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de que $X$ estivesse entre 4 e 7, dado que o título se tornou inadimplente ($P(X_2 | I)$):
$P(X_2 | I) = \frac{P(I | X_2)P(X_2)}{P(I)}$
$P(X_2 | I) = \frac{(0.4)(0.53)}{0.430} = \frac{0.212}{0.430}$
Para simplificar a fração, multiplicamos numerador e denominador por 1000:
$P(X_2 | I) = \frac{212}{430} = \frac{106}{215}$

• (A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde aos cálculos corretos usando o Teorema de Bayes e as probabilidades da distribuição Normal.
• (B) Incorreta: Esta alternativa não corresponde aos cálculos corretos usando o Teorema de Bayes e as probabilidades da distribuição Normal.
• (C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde aos cálculos corretos usando o Teorema de Bayes e as probabilidades da distribuição Normal.
• (D) Correta: A probabilidade de que o valor de X estivesse situado entre 4 e 7, dado que o emissor se tornou inadimplente, é de 106/215. O "pulo do gato" para chegar a essa fração exata é usar os valores arredondados da tabela Z para $P(Z < -1) \approx 0.16$ e $P(Z \le 0.5) \approx 0.69$, que são comumente empregados em questões de múltipla escolha para gerar respostas numéricas "limpas".
• (E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde aos cálculos corretos usando o Teorema de Bayes e as probabilidades da distribuição Normal.