Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 67)

O conceito-chave aqui é a enumeração de resultados possíveis, ou seja, listar todas as pontuações totais que Gabriel pode ter e contar quantos valores distintos existem. Não se trata de quantas maneiras diferentes ele pode chegar a uma pontuação, mas sim quais pontuações são alcançáveis.

• Pontos por corrida: Gabriel pode obter 1 ponto (3º lugar), 2 pontos (2º lugar) ou 4 pontos (1º lugar) em cada corrida. Como são apenas 3 atletas, Gabriel sempre pontuará em uma dessas posições.
• Total de corridas: 3 corridas.
• Pontuação total (N): É a soma dos pontos das 3 corridas.

Vamos listar todas as somas possíveis, considerando que cada pontuação individual pode ser 1, 2 ou 4:

1. Menor soma: 1 + 1 + 1 = 3
2. 1 + 1 + 2 = 4
3. 1 + 2 + 2 = 5
4. 1 + 1 + 4 = 6
5. 2 + 2 + 2 = 6 (mesma soma, mas outra combinação de resultados)
6. 1 + 2 + 4 = 7
7. 2 + 2 + 4 = 8
8. 1 + 4 + 4 = 9
9. 2 + 4 + 4 = 10
10. Maior soma: 4 + 4 + 4 = 12

As somas distintas que Gabriel pode obter são: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12.

É importante verificar se alguma soma intermediária é impossível. A única soma entre 3 e 12 que não apareceu é 11.

• Para obter 11:
  • Com três 4s: $4+4+4=12$ (maior que 11).
  • Com dois 4s: $4+4+X=11 \implies 8+X=11 \implies X=3$. Mas 3 não é uma pontuação possível em uma única corrida.
  • Com um 4: $4+X+Y=11 \implies X+Y=7$. As combinações de 1, 2, 4 que somam 7 são: $1+1=2, \1+2=3, \1+4=5, \2+2=4, \2+4=6, \4+4=8$. Nenhuma soma 7.
  • Sem 4s (apenas 1s e 2s): A maior soma possível é $2+2+2=6$ (menor que 11).
    Portanto, a soma 11 é impossível.

Contando os valores distintos: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12}, temos 9 valores.

(A) Incorreta: O número de valores distintos é maior que 6.
(B) Incorreta: O número de valores distintos é maior que 7.
(C) Incorreta: O número de valores distintos é maior que 8. A armadilha aqui pode ser esquecer uma das pontuações extremas (como 3 ou 12) ou não perceber que 11 é impossível, mas ainda assim errar a contagem.
(D) Correta: Existem 9 valores diferentes possíveis para N, que são {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12}. O fundamento é a enumeração sistemática de todas as somas possíveis das pontuações de Gabriel em 3 corridas, onde em cada corrida ele pode obter 1, 2 ou 4 pontos, e a identificação de que a soma 11 é impossível de ser alcançada.
(E) Incorreta: O número de valores distintos é 9, não 10. A armadilha aqui seria assumir que todas as somas entre o mínimo (3) e o máximo (12) são possíveis, o que daria $12 - 3 + 1 = 10$ valores, esquecendo que a soma 11 é impossível.