Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 61)

Quando um número N deixa um resto R ao ser dividido por um divisor D, podemos escrever isso como $N = D \times Q + R$ (onde Q é o quociente). Uma forma mais avançada de expressar isso é usando congruência, $N \equiv R \pmod D$. Se o resto R for apenas 1 unidade menor que o divisor D, ou seja, $R = D-1$, então podemos simplificar a congruência para $N \equiv -1 \pmod D$, o que significa que $N+1$ é divisível por D.

(A) Incorreta: O valor de N encontrado não resulta em uma soma de algarismos igual a 6.
(B) Correta: O número N deve satisfazer $N \equiv 12 \pmod{13}$ e $N \equiv 10 \pmod{11}$. Observando que $12 = 13-1 e \10 = 11-1$, podemos reescrever as congruências como$N \equiv -1 \pmod{13}$e$N \equiv -1 \pmod{11}$. Isso significa que$N+1$é divisível tanto por 13 quanto por 11. Como 11 e 13 são números **primos**, o **menor múltiplo comum (MMC)** deles é o produto$11 \times 13 = 143$. Assim,$N+1$deve ser um múltiplo de 143. Para encontrar o menor N positivo, tomamos o menor múltiplo positivo de 143, que é o próprio 143. Então,$N+1 = 143$, o que implica$N = 142. A soma dos algarismos de N é \1+4+2=7. **(C) Incorreta:** Esta seria a resposta se N fosse 143 (a soma dos algarismos de 143 é \1+4+3=8$), o que aconteceria se o aluno esquecesse de subtrair 1 de$N+1=143$. Essa é a principal armadilha da banca, pois$N+1$ é o múltiplo comum, não N.
(D) Incorreta: O valor de N encontrado não resulta em uma soma de algarismos igual a 9.
(E) Incorreta: O valor de N encontrado não resulta em uma soma de algarismos igual a 10.