Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 47)

"Contagem de possibilidades" é o ato de determinar quantas maneiras diferentes um evento pode acontecer. Neste problema, queremos encontrar todos os valores únicos que a soma dos pontos de Gabriel pode ter após três corridas, considerando as pontuações que ele pode obter em cada uma.

Em cada corrida, Gabriel pode obter 1 ponto (3º lugar), 2 pontos (2º lugar) ou 4 pontos (1º lugar). Para encontrar o total de pontos N após três corridas, somamos os pontos de cada corrida. Listamos todas as combinações possíveis de pontos para Gabriel e identificamos os valores únicos da soma:

1. Gabriel em 3º, 3º, 3º: 1 + 1 + 1 = \textbf{3}\
2. Gabriel em 3º, 3º, 2º: 1 + 1 + 2 = \textbf{4}\
3. Gabriel em 3º, 2º, 2º: 1 + 2 + 2 = \textbf{5}\
4. Gabriel em 3º, 3º, 1º: 1 + 1 + 4 = \textbf{6}\
5. Gabriel em 2º, 2º, 2º: $2 + 2 + 2 = \textbf{6}$ (valor já obtido)
6. Gabriel em 3º, 2º, 1º: 1 + 2 + 4 = \textbf{7}\
7. Gabriel em 2º, 2º, 1º: 2 + 2 + 4 = \textbf{8}\
8. Gabriel em 3º, 1º, 1º: 1 + 4 + 4 = \textbf{9}\
9. Gabriel em 2º, 1º, 1º: 2 + 4 + 4 = \textbf{10}\
10. Gabriel em 1º, 1º, 1º: $4 + 4 + 4 = \textbf{12}$

Os valores únicos de N são: $\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12\}$. Contando-os, temos 9 valores diferentes.

• (A) Incorreta: 6 valores seriam obtidos se muitas combinações válidas fossem perdidas.
• (B) Incorreta: 7 valores também indicaria que algumas combinações válidas foram esquecidas.
• (C) Incorreta: 8 valores significa que apenas uma das 9 combinações possíveis foi perdida.
• (D) Correta: O número de valores diferentes possíveis para N é 9, conforme a listagem sistemática de todas as somas únicas de pontos que Gabriel pode obter.
• (E) Incorreta: 10 valores significaria que haveria um valor adicional além dos 9 encontrados. A armadilha mais tentadora aqui é assumir que todos os números inteiros entre o mínimo (3) e o máximo (12) são possíveis, o que daria $12 - 3 + 1 = 10$ valores. No entanto, o valor 11 não é possível com as pontuações dadas.